题目的主要信息：

• Levenshtein 距离，指的是两个字符串之间，由一个转换成另一个所需的最少编辑操作次数，编辑可包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符
• 给定任意两个字符串，计算二者的编辑距离

方法一：动态规划

具体做法：

我们用二维dp数组记录编辑距离，其中$dp[i][j]dp[i][j]$表示字符串s1前$ii$个字符与字符串s2前$jj$个字符之间的编辑距离。

初始状态时，s1中第0个字符与s2中每个字符的距离就是s2每个字符为止的长度，s2中第0个字符与s1中每个字符的距离就是s1每个字符为止的长度，因此二维数组第1行第1列分别置为相应的列号和行号。

后面我们对于字符串s1中从1到$nn$每个长度，都计算相应的到字符串2从1到$mm$每个长度的距离。转移方程为：

$dp[i][j]=min\{dp[i-1][j-1]+(s1[i]==s2[j]?0:1),min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]+1)\}dp[i][j]\; =\; min\; \backslash \{\; dp[i-1][j-1]+(s1[i]==s2[j]?0:1),\; \backslash quad\; min(dp[i-1][j],\; \backslash quad\; dp[i][j-1]+1)\; \backslash \}$

其中$dp[i-1][j]dp[i-1][j]$表示字符串s1前$i-1i-1$个字符到字符串s2前$jj$个字符的距离，增加一个字符即可得到，$dp[i][j-1]dp[i][j-1]$表示字符串s1前$ii$个字符到字符串s2前$j-1j-1$个字符的距离, 删除一个字符即可得到，因此转移都是加1次操作。$dp[i-1][j-1]dp[i-1][j-1]$表示字符串s1前$i-1i-1$个字符到字符串s2前$j-1j-1$个字符的距离，如果现在两个字符相同，则不变，否则增加一次修改操作，距离加1.

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(){
    string s1, s2;
    while(cin >> s1 >> s2){
        int n = s1.length();
        int m = s2.length();
        vector<vector<int> > dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); //dp[i][j]表示s1中前i个字符与s2中前j个字符的距离
        for(int i = 1; i <= m; i++)  //s1中第0个字符与s2中每个字符的距离就是s2每个字符为止的长度
            dp[0][i] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i++)  //s2中第0个字符与s1中每个字符的距离就是s1每个字符为止的长度
            dp[i][0] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                int temp = dp[i - 1][j - 1];
                if(s1[i - 1] != s2[j - 1]) //如果前两个字符不同，要多增加1的距离
                    temp++;
                dp[i][j] = min(temp, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); //状态转移，选出最小
            }
        }
        cout << dp[n][m] << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nm)O(nm)$，其中$nn$和$mm$分别为两个字符串的长度，两层遍历
• 空间复杂度：$O(nm)O(nm)$，辅助数组dp的大小

方法二：动态规划空间优化

具体做法：

我们发现方法一在遍历的时候二维数组只使用到了本行$ii$及上一行$i-1i-1$，因为我们可以使用滚动数组优化($k=1-kk=1-k$，$kk$表示行），每次遍历都只有两行，而下标在不断交替使用。每行首列在外循环进入的时候初始化为行号，原理同上。

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(){
    string s1, s2;
    while(cin >> s1 >> s2){
        int n = s1.length();
        int m = s2.length();
        vector<vector<int> > dp(2, vector<int>(m + 1, 0)); //dp[i][j]表示s1中前i个字符与s2中前j个字符的距离，滚动数组表示
        for(int i = 1; i <= m; i++)  //s1中第0个字符与s2中每个字符的距离就是s2每个字符为止的长度
            dp[0][i] = i;
        int k = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            k = 1 - k; //数组交换行
            dp[k][0] = i; //初始置为该行号
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                int temp = dp[1 - k][j - 1];
                if(s1[i - 1] != s2[j - 1]) //如果这两个字符不同，要多增加1的距离
                    temp++;
                dp[k][j] = min(temp, min(dp[1 - k][j], dp[k][j - 1]) + 1); //状态转移，选出最小
            }
        }
        cout << dp[k][m] << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nm)O(nm)$，其中$nn$和$mm$分别为两个字符串的长度，两层遍历
• 空间复杂度：$O(m)O(m)$，辅助数组dp只有两行，每行长度$m+1m+1$