NC12606I

Solution

首先很容易看出这道题是一道换根DP。
我们首先可以写一个DFS求出以某个节点为根的答案，一般根节点就取1号节点，是因为,一般1号节点是存在的，当然也可以随便取别的。
重点是考虑答案的转移。
假设已知节点的答案，我们需要哪些信息能够通过一定的方式转移到呢？

将转移分为部分维护，左边部分为部分，右边部分为部分。

我们需要维护表示其他所有节点到节点的距离和，即。
还需要维护表示以为根节点的子树的大小，表示子树的，。
对于
对于的转移：
对于部分的转移：
对于部分的转移：（我们需要减去时的部分，然后加上时的部分。）

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ls (p << 1)
#define rs (ls | 1)
#define tm ((tl + tr) >> 1)
#define lowbit(x) ((x) & -(x))

using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using pii = pair<int, int>;

constexpr double eps = 1e-8;
constexpr int NINF = 0xc0c0c0c0;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f;
constexpr ll LNINF = 0xc0c0c0c0c0c0c0c0;
constexpr ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
constexpr ll mod = 1e9 + 7;
constexpr ll N = 1e5 + 5;

ll n, t[N], sum[N], len[N], sz[N], ans[N], T;
vector<pii> G[N];

void dfs(int u, int p) {
    sum[u] = t[u];
    sz[u] = 1;
    for (auto [v, w] : G[u]) {
        if (v == p) continue;
        dfs(v, u);
        sum[u] += sum[v];
        sz[u] += sz[v];
        len[1] += sz[v] * w;
        ans[1] += (sum[v] + sz[v] * t[1]) * w;
    }
}

void dp(int u, int p) {
    for (auto [v, w] : G[u]) {
        if (v == p) continue;
        len[v] = len[u] - w * sz[v] + w * (n - sz[v]);
        ans[v] = ans[u] - w * sum[v] + w * (T - sum[v]) - len[u] * t[u] + len[v] * t[v];
        dp(v, u);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> t[i];
    T = accumulate(t + 1, t + 1 + n, 0);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].push_back({v, w});
        G[v].push_back({u, w});
    }
    dfs(1, 0);
    dp(1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << '\n';

    return 0;
}