11.1 多项式整环

整环R上的全体多项式组成的集合R[X]（11.1）

R[X]上的加法（11.2）

R[X]上的乘法（11.3）

定理 11.1.1 整环R上的多项式环符合式R[X]对于多项式的加（乘）法式是一个整环

11.2 多项式整除与不可约多项式

本节考虑多项式的整除性。

前面考虑了多项式整除和因式,现在考虑对于乘法的次数最小的多项式,也就是不能继续分解的多项式，即下面的不可约多项式。

多项式是否可约与所在的环或域相关。

定义11.2.1 整除 因式 倍式

定理 11.2.1 多项式整除具有传递性

定理 11.2.2 在多项式f(x)， g(x)的线性组合中,整除的性质是保持的

定义11.2.2 不可约多项式 合式

定理 11.2.3 域K上的每个可约多项式必有不可约因式

注

由定理11.2.3可知,不可约多项式为乘法的最小单元.

根据定理11.2.3,可约多项式f(z)的次数最小的非常数因式为不可约多项式,且 deg p ≤(deg f)/2.由此,立即得到一个判断多项式是否为不可约多项式的法则。

定理 11.2.4 判断多项式是否为不可约多项式

11.3 多项式欧几里得除法

本节考虑多项式欧几里得除法。

定理 11.3.1 多项式欧几里得除法

定义11.3.1 不完全商 余式

推论 1

推论 2

定理 11.3.2 多项式欧几里得除法

定理11.3.1所论述的是整环上的多项式除法,因此须对除式g(x)作首项系数为1的要求。对于域上的多项式,就不用作要求。为便于应用,给出以下表述。

定理 11.3.3

根据多项式整除的定义和定理11.3.2,有

根据定理11.3.3和定理11.2.4,可以有效地判断一个多项式是否为不可约多项式。

类似于整数中的最大公因数和最小公倍数,可以给出多项式环R[X]中的最大公因式和最小公倍式。

最大公因式 互素

最小公倍式

定理 11.3.4

定理 11.3.5 多项式广义欧几里得除法

定理 11.3.6

定理 11.3.7

11.8 习题

2

Solution

例11.3.3

Solution

9

Solution

例 11.3.2

Solution

10