题解 | CSP-S 2021 括号序列

目录

• 状态定义
• 状态转移方程
• 代码

状态定义

定义 $dp[l][r][flag]dp[l][r][flag]$ 为区间 $[l,r][l,\; r]$ 中符合以下条件的方法数：

1. flag = 0 表示左右两端为匹配括号的形式：$(any)(any)$

2. flag = 1 表示左端为1-k个星号的形式： $\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast (any)*..*(any)$

3. flag = 2 表示右端为1-k个星号的形式： $(any)\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast (any)*..*$

则所求答案为$dp[0][n-1][0]dp[0][n-1][0]$

状态转移方程

1. flag = 0时, 枚举左边第1个合法的超级括号序列

其中要求

• s[l] = '(' 或 '?'

• s[i] = ')' 或 '?'

• s[r] = ')' 或 '?'

• s[l..i]为第1个有如下形式的合法括号序列$(),(\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast ),((any)),(\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast (any)),((any)\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast )(),\; (*..*),\; ((any)),\; (*..*(any)),\; ((any)*..*)$

• $count(l,r)count(l,\; r)$ 统计如下形式$(),(\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast ),((any)),(\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast (any)),((any)\ast \mathrm{.}\mathrm{.}\ast )(),\; (*..*),\; ((any)),\; (*..*(any)),\; ((any)*..*)$ 的合法串数量

• $coun{t}_{case1}(l,r)=1count\_\{case1\}(l,\; r)\; =\; 1$ 当且仅当 s[l, r]形如$()()$或$(\ast \ast \ast )(***)$

这一步时间复杂度为$O(k{N}^2)O(kN^2)$

2. flag = 1时

其中要求

• s[l+i] = '(' 或 '?'

• s[r] = ')' 或 '?'

• s[l, l+i-1] 中每个字符 = '*' 或 '?'

这一步时间复杂度为$O(k{N}^2)O(kN^2)$

3. flag = 2时

其中要求

• s[l] = '(' 或 '?'

• s[r-i] = ')' 或 '?'

• s[r-i+1, r] 中每个字符 = '*' 或 '?'

这一步时间复杂度为$O(k{N}^2)O(kN^2)$

总的时间复杂度为$O(N^3)O(N^3)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define CLEAR(a,val) memset(a, val, sizeof (a))
using ll = long long;
using namespace std;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 501;
int mem[MAXN][MAXN][3];
int mem_case1[MAXN][MAXN];

int main() {
    CLEAR(mem, -1);
    CLEAR(mem_case1, -1);
    int n, k; cin >> n >> k;
    string s; cin >> s;
    // can s[i] turn into c
    auto check = [&s](int i, char c)->bool {
        return s[i] == c || s[i] == '?';
    };

    // trivial case
    auto count_case1 = [&](int l, int r) -> int {
        if (!check(l, '(')) return 0;
        if (!check(r, ')')) return 0;
        if (r - l - 1 > k) return 0;
        if (mem_case1[l][r] != -1) { return mem_case1[l][r]; }
        for(int i = l + 1; i <= r - 1; ++i) {
            if (!check(i, '*')) return mem_case1[l][r] = 0;
        }
        return mem_case1[l][r] = 1;
    };

    function<ll(int, int, int)> dp = [&](int l, int r, int flag) -> ll {
        if (r - l <= 0) return 0;
        if (mem[l][r][flag] != -1) { return mem[l][r][flag]; }
        ll ans = 0;
        if (flag == 0) { // format (~)
            if (!check(l, '(') || !check(r, ')')) {
                return mem[l][r][flag] = 0;
            }
            // () = count(l, r)
            ans = (ans + count_case1(l, r)) % MOD;
            for(int i = 0; i < 3; ++i) {
                ans = (ans + dp(l + 1, r - 1, i)) % MOD;
            }
            // ()any = range dp
            for(int i = l + 1; i <= r - 1; ++i) {
                if (check(i, ')')) {
                    ll cnt_left = count_case1(l, i) + dp(l + 1, i - 1, 0) + dp(l + 1, i - 1, 1) + dp(l + 1, i - 1, 2);
                    ll cnt_right = dp(i + 1, r, 0) + dp(i + 1, r, 1);
                    cnt_left %= MOD;
                    cnt_right %= MOD;
                    ans = (ans + cnt_left * cnt_right % MOD) % MOD;
                }
            }
        }
        else if (flag == 1 && check(r, ')')) { // format ***()
            for(int i = 1; i <= k; ++i) {
                int at = l + i - 1;
                if (at + 1 >= r) { break; }
                if (!check(at, '*')) { break; }
                if (check(at + 1, '(')) {
                    ans = (ans + dp(at + 1, r, 0)) % MOD;
                }
            }
        }
        else if (flag == 2 && check(l, '(')) { // format ()***
            for(int i = 1; i <= k; ++i) {
                int at = r - i + 1;
                if (at - 1 <= l) { break; }
                if (!check(at, '*')) { break; }
                if (check(at - 1, ')')) {
                    ans = (ans + dp(l, at - 1, 0)) % MOD;
                }
            }
        }
        return mem[l][r][flag] = int(ans % MOD);
    };
    cout << dp(0, n - 1, 0) << endl;

    return 0;
}