题目描述

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game

解题思路

首先，分析题目。从示例1和示例2可以看出，爱丽丝每次可以抽取1-W范围的数，当抽取总和大于K时停止抽取，此时抽取总和小于等于N，则获得胜利。
对于示例1，N=10，K=1，W=10
每次抽取的点数范围在1-10之间，所以只抽取一次，一定大于1（K）且小于等于10（N），则概率为1.0
对于示例2，N=6，K=1，W=10
每次抽取的点数范围在1-10之间，当抽取到1-6，大于1且小于6，符合条件，不再抽取。所以概率为6/10
对于示例3，N=21，K=17，W=10
因为当抽取的总和大于等于17的时候，停止抽取，所以我们可以知道抽取的最高分数为K+W-1。
所以爱丽丝可以再次抽取的当前最大总和为16，则这种情况下，爱丽丝下次抽取的范围为[17,26]，在这个范围内[17,21]是小于等于N的，即获胜。[22,26]是大于21的，即失败。
故，当爱丽丝已经抽取到了16，再次进行抽取，获胜的概率为（1+1+1+1+1+0+0+0+0+0）/10=0.5
则，我们可以设置一个dp数组，dp[i]表示当前分数为i时，获胜的概率。
所以对于dp[16],它可以再次抽取，且抽取的范围为[17,26]，而dp[17]-dp[21]的获胜概率为1.0，dp[22]-dp[26]的获胜概率为0，对于抽取的W个数，概率是一样的，所以我们可以得出：
dp[16] = (dp[17]+dp[18]+dp[19]+...+dp[26])/10
同理当我们此时的点数为15的时候，下次抽取的范围为[16,25]。
dp[15] = (dp[16]+dp[17]+dp[18]+...+dp[25])/10
所以可以得到dp[i] = (dp[i+1]+..dp[i+W])/W，从后往前递推得到dp[0]即我们所求的获胜概率。
S = dp[i+1]+..dp[i+W]
dp[i-1] = (dp[i]+...+dp[i+W-1])/W = (S-dp[i+W]+dp[i])/W

代码

class Solution:
    def new21Game(self, N: int, K: int, W: int) -&gt; float:
        dp = [0.0]*(K+W)#初始化dp数组
        for k in range(K, min(N+1, K+W)):#因为初始化的数组大小为K+W，所以我们只取K到min(N+1,K+W)为初始区间，这个区间的数一定获胜
            dp[k] = 1.0#大于等于K且小于等于N的dp[k]一定获胜，所以概率初始化为1
        #当N大于K+W时，有些值就不在dp数组中，为了防止越界，所以取两者最小值
        S = min(N-K+1, W)#维持一个窗口区间，表示上续初始化区间的范围，方便后续求解。后续进行移动时，只需删除区间最后一个dp，然后加上当前dp，即为下次求解的总概率和。
        for k in range(K-1, -1, -1):
            dp[k] = S/float(W)
            S += dp[k] - dp[k+W]
        return dp[0]