图像质量评价指标之 PSNR 和 SSIM

1. PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 峰值信噪比

给定一个大小为 $m\times n$m×n 的干净图像 $I$I 和噪声图像 $K$K，均方误差 $\left(MSE\right)$(MSE) 定义为：

$MSE=\frac{1}{mn}\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{j=0}^{n-1}\left[I\right(i,j)-K(i,j){]}^2$MSE=mn1​i=0∑m−1​j=0∑n−1​[I(i,j)−K(i,j)]2

然后 $PSNR\left(dB\right)$PSNR(dB) 就定义为：

$PSNR=10\cdot lo{g}_{10}\left(\frac{MA{X}_I^2}{MSE}\right)$PSNR=10⋅log10​(MSEMAXI2​​)

其中 $MA{X}_I^2$MAXI2​ 为图片可能的最大像素值。如果每个像素都由 8 位二进制来表示，那么就为 255。通常，如果像素值由 $B$B 位二进制来表示，那么 $MA{X}_I=2^B-1$MAXI​=2B−1。

一般地，针对 uint8 数据，最大像素值为 255,；针对浮点型数据，最大像素值为 1。

上面是针对灰度图像的计算方法，如果是彩色图像，通常有三种方法来计算。

• 分别计算 RGB 三个通道的 PSNR，然后取平均值。
• 计算 RGB 三通道的 MSE ，然后再除以 3 。
• 将图片转化为 YCbCr 格式，然后只计算 Y 分量也就是亮度分量的 PSNR。

其中，第二和第三种方法比较常见。

# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型

# method 1
diff = im1 - im2
mse = np.mean(np.square(diff))
psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)

# method 2
psnr = skimage.measure.compare_psnr(im1, im2, 255)

compare_psnr(im_true, im_test, data_range=None) 函数原型可见此处

针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 PSNR，然后取平均值，这个指标称为 MPSNR。

2. SSIM (Structural SIMilarity) 结构相似性

$SSIM$SSIM 公式基于样本 $x$x 和 $y$y 之间的三个比较衡量：亮度 (luminance)、对比度 (contrast) 和结构 (structure)。

$l(x,y)=\frac{2{\mu }_x{\mu }_y+c_1}{{\mu }_x^2+{\mu }_y^2+c_1}$l(x,y)=μx2​+μy2​+c1​2μx​μy​+c1​​
$c(x,y)=\frac{2{\sigma }_x{\sigma }_y+c_2}{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+c_2}$c(x,y)=σx2​+σy2​+c2​2σx​σy​+c2​​
$s(x,y)=\frac{{\sigma }_{xy}+c_3}{{\sigma }_x{\sigma }_y+c_3}$s(x,y)=σx​σy​+c3​σxy​+c3​​

一般取 $c_3=c_2/2$c3​=c2​/2。

• ${\mu }_x$μx​ 为 $x$x 的均值
• ${\mu }_y$μy​ 为 $y$y 的均值
• ${\sigma }_x^2$σx2​ 为 $x$x 的方差
• ${\sigma }_y^2$σy2​ 为 $y$y 的方差
• ${\sigma }_{xy}$σxy​ 为 $x$x 和 $y$y 的协方差
• $c_1=(k_{1}L{)}^2,c_2=(k_{2}L{)}^2$c1​=(k1​L)2,c2​=(k2​L)2 为两个常数，避免除零
• $L$L 为像素值的范围， $2^B-1$2B−1
• $k_1=0.01,k_2=0.03$k1​=0.01,k2​=0.03 为默认值

那么

$SSIM(x,y)=\left[l\right(x,y{)}^{\alpha }\cdot c(x,y{)}^{\beta }\cdot s(x,y{)}^{\gamma }]$SSIM(x,y)=[l(x,y)α⋅c(x,y)β⋅s(x,y)γ]

将 $\alpha ,\beta ,\gamma$α,β,γ 设为 1，可以得到

$SSIM(x,y)=\frac{(2{\mu }_x{\mu }_y+c_1)(2{\sigma }_{xy}+c_2)}{({\mu }_x^2+{\mu }_y^2+c_1)({\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+c_2)}$SSIM(x,y)=(μx2​+μy2​+c1​)(σx2​+σy2​+c2​)(2μx​μy​+c1​)(2σxy​+c2​)​

每次计算的时候都从图片上取一个 $N\times N$N×N 的窗口，然后不断滑动窗口进行计算，最后取平均值作为全局的 SSIM。

# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型
ssim = skimage.measure.compare_ssim(im1, im2, data_range=255)

compare_ssim(X, Y, win_size=None, gradient=False, data_range=None, multichannel=False, gaussian_weights=False, full=False, **kwargs) 函数原型可见此处

针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 SSIM，然后取平均值，这个指标称为 MSSIM。

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