第二章导数与微分

第一节导数概念

一、引例

1. 直线运动的速度

2. 切线问题

二、导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

定义：设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta{x}$ （点 $x_0 + \Delta{x}$ 仍在该邻域内）时，相应的，因变量取得增量 $\Delta{y} = f(x_0 + \Delta{x}) - f(x_0)$ ；如果 $\Delta{y}$ 与 $\Delta{x}$ 之比当 $\Delta{x} \to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个函数极限为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{'}(x_0)$ ，即 $f^{'}(x_0) = lim_{\Delta{x} \to 0}{\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}} = lim_{\Delta{x} \to 0}{ \frac{f(x_0+\Delta{x}) - f(x_0)}{\Delta{x}} }$ ，也可记作 $y|_{x=x_0}$ ， $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ 或 $\frac{d(f)}{dx}|_{x=x_0}$

三、导数的几何意义

切线方程、法线方程

四、函数可导性与连续性的关系

可导必连续
连续不一定可导

第二节函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、反函数的求导法则

如果函数 $x = f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f^{'}(y) \neq 0$ ，那么它的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x = \{x| x = f(y), y \in I_y\}$ 内也可导，且 $[f^{-1}(x)]^{'} = \frac{1}{f^{'}(x)}$ 或 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \frac{dx}{dy} }$

三、复合函数的求导法则

四、基本求导法则与导数公式

1、常用和基本初等函数的导数公式

（1） $(tanx)^{'} = sec^2x$

（2） $(cotx)^{'} = -csc^2x$

（3） $(secx)^{'} = secxtanx$

（4） $(cscx)^{'} = -cscxcotx$

（5） $(a^x)^{'} = a^xlna, (a > 0, a \neq 1)$

（6） $(log_ax)^{'} = \frac{1}{xlna}, (a > 0, a \neq 1)$

（7） $(arcsinx)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

（8） $(arccosx)^{'} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

（9） $(arctanx)^{'} = \frac{1}{1 + x^2}$

（10） $(arccotx)^{'} = -\frac{1}{1 + x^2}$

（11） $(shx)^{'} = chx$

（12） $(chx)^{'} = shx$

（13） $(thx)^{'} = \frac{1}{ch^2x}$

（14） $(arshx)^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

（15） $(arshx)^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

（16） $(arthx)^{'} = \frac{1}{1 - x^2}$

第三节高阶导数

常用函数的n阶导：

（1） $(e^x)^{(n)} = e^x$

（2） $(sinx)^{(n)} = sin(x + n \cdot \frac{\pi}{2})$

（3） $(cosx)^{(n)} = cos(x + n \cdot \frac{\pi}{2})$

（4） $[ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n - 1)!}{(1 + x)^n}$

（5）莱布尼茨公式： $(uv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^{n}C_n^ku^{(n-k()}v^{(k)}$

二项式定理： $(u + v)^n = \sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{n-k}v^k$

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

一、隐函数的导数

隐函数：一般的，如果变量 $x$ 和 $y$ 满足一个方程 $F(x,y) = 0$ ，在一定条件下，当 $x$ 取区间内的任一值时，相应的总有满足这个方程的唯一的 $y$ 值存在，那么就说方程 $F(x,y) = 0$ 在该区间内确定了一个隐函数
显函数：等号的一边只含因变量，另一边只含自变量

（1）对数求导法（注意变量范围）

二、由参数方程所确定的函数的导数

对参数方程 $\begin{equation} \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \end{equation}$ ，有 $\frac{dy}{dx} = \frac{\psi(t)^{'}}{\varphi(t)^{'}}$ ， $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(\frac{\psi(t)^{'}}{\varphi(t)^{'}}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{ \psi ^{''}(t)\varphi^{'}(t) - \psi^{'}(t)\varphi^{''}(t)}{\varphi^{'3}(t)}$

三、相关变化率

相关变化率：设 $\varphi(t)$ 和 $y = \psi(t)$ 都是可导函数，而变量 $x$ 和 $y$ 间存在某种关系，从而变化率 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$ 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

第五节函数的微分

一、微分的定义

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义， $x_0$ 和 $x_0 + \Delta{x}$ 在该区间内，如果函数的增量 $\Delta{y} = f(x_0+\Delta{x}) - f(x_0)$ 可表示为 $\Delta{y} = A\Delta{x} + o(\Delta{x})$ ，其中 $A$ 是不依赖 $\Delta{x}$ 的常数，那么称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是可变的，而 $A\Delta{x}$ 叫做该函数在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta{x}$ 的微分，记作 $dy$ ，即 $dy = A\Delta{x}$
可微必定可导
可微的充要条件：在该点可导。且 $dy = f(x_0)^{'}\Delta{x}$
通常把自变量的增量 $\Delta{x}$ 称为自变量的微分 $dx$ ，即 $\Delta{x} = dx$
导数也叫做“微商”（函数的微分 $dy$ 与自变量的微分 $dx$ 之比

二、微分的几何意义

非线性函数的局部线性变化

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1.基本初等函数的微分公式（类比求导）

2.函数和、差、积、商的微分法则（类比导数的法则）

3.复合函数的微分法则

微分形式不变性

4、微分在近似计算中的应用

函数的近似计算

（1） $(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha{x}$ ，其中， $x \in R$

（2） $sinx \approx x$

（3） $tanx \approx x$

（4） $e^x \approx 1 + x$

（5） $ln(1+x) \approx x$
误差估计
- 用带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，叫做间接测量误差
- 如果某个量的精确值为 $A$ ，它的近似值的 $a$ ，那么 $|A-a|$ 叫做 $a$ 的绝对误差，而绝对误差与 $|a|$ 的比值 $\frac{|A-a|}{|a|}$ 叫做 $a$ 的相对误差
- 实际中，某个量的精确值很难测量，但根据测量仪器等因素，能确定误差在一个范围内，如果某个量的精确值为 $A$ ，测的它的近似值是 $a$ ，又知道它的误差不超过 $\delta_{A}$ ，即 $|A - a| \leq \delta_{A}$ ，那么称 $\delta_{A}$ 为测量 $A$ 的绝对误差限，而 $\frac{\delta_A}{a}$ 为测量 $A$ 的相对误差限

《高等数学》上册 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

第一节 导数概念