连续时间傅里叶变换

1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内

$x\left(t\right)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{|}t\mid \&lt;T_1\\ 0,& {\text{T}}_1\&lt;\mid t\mid \&lt;T/2\end{array}$x(t)={1,0,​|t∣<T1​T1​<∣t∣<T/2​

以周期 $T$T 周期重复，如下图所示。

该方波信号的傅里叶级数系数 $a_k$ak​ 是

$\begin{array}{}\text{(1)}& a_k=\frac{2sin\left(k{\omega }_0{T}_1\right)}{k{\omega }_{0}T}\end{array}$ak​=kω0​T2sin(kω0​T1​)​(1)
式中 ${\omega }_0=2\pi /T$ω0​=2π/T。

理解（1） 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

$\begin{array}{}\text{(2)}& T{a}_k=\frac{2sin\omega T_1}{\omega }{\mid }_{\omega =k{\omega }_0}\end{array}$Tak​=ω2sinωT1​​∣ω=kω0​​(2)

这就是，若将 $\omega$ω 看作一个连续变量，则函数 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 $T{a}_k$Tak​ 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 $T_1$T1​ 固定，则 $T{a}_k$Tak​ 的包络就与 $T$T 无关，如下图所示。

从该图可以看出，随着 $T$T 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 $T$T 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。

与此同时，傅里叶级数（乘以 $T$T 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 $T\to \infty$T→∞，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。

现在我们来考虑一个信号 $x\left(t\right)$x(t)，它具有有限持续期 $2T_1$2T1​，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t)，使 $x\left(t\right)$x(t) 就是 $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t) 的一个周期。当把 $T$T 选的比较大时， $x\left(t\right)$x(t) 就在一个更长的时段上与 $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t) 相一致，并且随着 $T\to \infty$T→∞，对任意有限时间值 $t$t 而言， $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t) 就等于 $x\left(t\right)$x(t)。

在这种情况下，我们考虑将 $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t) 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 $-T/2⩽t⩽T/2$−T/2⩽t⩽T/2。

$\begin{array}{}\text{(3)}& \tilde{x}\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\end{array}$x~(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t(3)

$\begin{array}{}\text{(4)}& a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde{x}\left(t\right)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\end{array}$ak​=T1​∫−2T​2T​​x~(t)e−jkω0​tdt(4)

式中 ${\omega }_0=2\pi /T$ω0​=2π/T，由于在 $\mid t\mid \&lt;T/2$∣t∣<T/2 内， $\tilde{x}\left(t\right)=x\left(t\right)$x~(t)=x(t)，而在其余地方， $x\left(t\right)=0$x(t)=0，所以（4）式可以重新写为

$\begin{array}{}\text{(5)}& a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x\left(t\right)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\end{array}$ak​=T1​∫−2T​2T​​x(t)e−jkω0​tdt=T1​∫−∞+∞​x(t)e−jkω0​tdt(5)

因此，定义 $T{a}_k$Tak​ 的包络 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 为

$\begin{array}{}\text{(6)}& X\left(j\omega \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)e^{-j\omega t}dt\end{array}$X(jω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt(6)

这时候，系数 $a_k$ak​ 可以写为

$\begin{array}{}\text{(7)}& a_k=\frac{1}{T}X\left(jk{\omega }_0\right)\end{array}$ak​=T1​X(jkω0​)(7)

将（3） 和 （7）结合在一起， $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t) 就可以用表示为

$\begin{array}{}\text{(8)}& \tilde{x}\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X\left(jk{\omega }_0\right)e^{jk{\omega }_{0}t}=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\left(jk{\omega }_0\right)e^{jk{\omega }_{0}t}{\omega }_0\end{array}$x~(t)=k=−∞∑+∞​T1​X(jkω0​)ejkω0​t=2π1​k=−∞∑+∞​X(jkω0​)ejkω0​tω0​(8)

随着 $T\to \infty$T→∞， $\tilde{x}\left(t\right)$x~(t) 趋近于 $x\left(t\right)$x(t)，式（8）的极限就变成 $x\left(t\right)$x(t) 的表达式。再者，当 $T\to \infty$T→∞ 时，有 ${\omega }_0\to 0$ω0​→0，式（8）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X\left(jk{\omega }_0\right)e^{jk{\omega }_{0}t}$X(jkω0​)ejkω0​t 宽度为 ${\omega }_0$ω0​ 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成

$\begin{array}{}\text{(9)}& \boxed{{\displaystyle x\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X\left(j\omega \right)e^{j\omega t}d\omega }}\end{array}$x(t)=2π1​∫−∞+∞​X(jω)ejωtdω​(9)

$\begin{array}{}\text{(10)}& \boxed{{\displaystyle X\left(j\omega \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)e^{-j\omega t}dt}}\end{array}$X(jω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt​(10)

（9）式和 （10）式被称为傅里叶变换对。函数 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 称为 $X\left(t\right)$X(t) 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而 （9）式称为傅里叶反变换式。

• 例 1
  

• 例 2
  
  

sinc 函数通常所用的形式为

$\begin{array}{}\text{(11)}& sinc\left(\theta \right)=\frac{sin\pi \theta }{\pi \theta }\end{array}$sinc(θ)=πθsinπθ​(11)

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 $x\left(t\right)$x(t)，其傅里叶变换 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 是一个面积为 $2\pi$2π，出现在 $\omega ={\omega }_0$ω=ω0​处的单独的一个冲激，即

$\begin{array}{}\text{(12)}& X\left(j\omega \right)=2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)\end{array}$X(jω)=2πδ(ω−ω0​)(12)

为了求出与 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 对应的 $x\left(t\right)$x(t)，可以应用式（9）的反变换公式得到

$\begin{array}{}\text{(13)}& x\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)e^{j\omega t}d\omega =e^{j{\omega }_{0}t}\end{array}$x(t)=2π1​∫−∞+∞​2πδ(ω−ω0​)ejωtdω=ejω0​t(13)

将上面的结果再加以推广，如果 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

$\begin{array}{}\text{(14)}& X\left(j\omega \right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)\end{array}$X(jω)=k=−∞∑+∞​2πak​δ(ω−kω0​)(14)

那么利用式（9），可得

$\begin{array}{}\text{(15)}& x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}\end{array}$x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t(15)

可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 $\left\{a_k\right\}${ak​} 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 $k$k 次谐波频率 $k{\omega }_0$kω0​ 上的冲激函数的面积是第 $k$k 个傅里叶级数系数 $a_k$ak​ 的 $2\pi$2π 倍。

3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x\left(t\right)$x(t) 和 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 这一对傅里叶变换用下列符号表示

x(t)↔FX(jω)

3.1. 线性

若

x(t)↔FX(jω)

和

y(t)↔FY(jω)

则

ax(t)+by(t)↔FaX(jω)+bY(jω)​(16)

3.2. 时移性质

若

x(t)↔FX(jω)

则

x(t−t0​)↔Fe−jωt0​X(jω)​(17)

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

若

x(t)↔FX(jω)

则

x∗(t)↔FX∗(−jω)​(18)

共轭性质就能证明，若 $x\left(t\right)$x(t) 为实函数，那么 $X\left(j\omega \right)$X(jω) 就具有共轭对称性，即

$\begin{array}{}\text{(19)}& \boxed{{\displaystyle X(-j\omega )=X^{\ast }\left(j\omega \right)\left[x\right(t\left)为实\right]}}\end{array}$X(−jω)=X∗(jω)[x(t)为实]​(19)

这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.4. 微分和积分

dtdx(t)​↔FjωX(jω)​(20)

∫−∞t​x(τ)dτ↔Fjω1​X(jω)+πX(0)δ(ω)​(21)

3.5. 时间与频率的尺度变换

若

x(t)↔FX(jω)

x(at)↔F∣a∣1​X(ajω​)​(22)

若令 $a=-1$a=−1，则有

x(−t)↔FX(−jω)​(23)

3.6. 对偶性

3.7. 帕斯瓦尔定理

若

x(t)↔FX(jω)

则

$\begin{array}{}\text{(24)}& \boxed{{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\mid x\left(t\right){\mid }^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\mid X\left(j\omega \right){\mid }^{2}d\omega }}\end{array}$∫−∞+∞​∣x(t)∣2dt=2π1​∫−∞+∞​∣X(jω)∣2dω​(24)

3.8. 卷积性质

y(t)=h(t)∗x(t)↔FY(jω)=H(jω)X(jω)​(25)

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

r(t)=s(t)p(t)↔FR(jω)=2π1​[S(jω)∗P(jω)]​(27)

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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