题目难度: 简单
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题目描述
给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。
示例 1:
- 输入: n = 2
- 输出: [0,1,1]
- 解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
示例 2:
- 输入: n = 5
- 输出: [0,1,1,2,1,2]
- 解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101
说明 :
0 <= n <= 10^5
进阶:
- 给出时间复杂度为 O(n*sizeof(integer)) 的解答非常容易。但你可以在线性时间 O(n) 内用一趟扫描做到吗？
- 要求算法的空间复杂度为 O(n) 。
- 你能进一步完善解法吗？要求在 C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount ）来执行此操作。
题目思考
- 如何做到线性时间一趟扫描?
- 前后数字之间是否有关联?
解决方案
思路
- 分析题目, 一个很容易想到的方法就是从 0 遍历到 N, 然后依次统计每个数字的二进制 1 的数目 (不断右移并检查最低位数字, 是 1 则累加计数)
- 但这种算法的时间复杂度是 O(n*sizeof(integer)), 如何达到题目里的进阶要求 (线性时间一趟扫描) 呢?
- 如果在计算后面数字的 1 的个数时, 能利用之前数字的计算结果, 这样我们就无需诸位统计了
- 例如对于二进制数 0b1011 来说, 它有 3 个 1, 相比 0b1010 多了最低位的 1
- 这样就可以将问题转换成求将最低位 1 翻转成 0 的数字了, 那如何求解呢?
- 如果当前数字 n 的个位是 1, 显然 n-1 就可以将最低位翻转成 0 了, 那对于个位不是 1 的数字呢?
- 此时 n 的最低位 1 后面一定全是 0, 所以 n 长这样: 0bxxx1000, n-1 的话就是 0bxxx0111
- 那么将 n-1 与 n 求与, 得到的结果就是 0bxxx0000, 正是将 n 的最低位 1 翻转成 0 的数字
- 综合上述两种情况, n&(n-1) 即可得到 1 的数目比 n 少 1 的数字 (因为即使个位是 1, n&(n-1)还是 n-1)
- 所以 n 的 1 的数目就是 n&(n-1)的 1 的数目加 1
- 我们依次从 1 开始遍历到 n, 利用上述规则即可在线性时间内一趟扫描求出所有数字的 1 的数目
复杂度
- 时间复杂度 O(N): 线性时间, 一趟扫描
- 空间复杂度 O(N): 最终结果数组需要存 N 个数字
代码
class Solution:
def countBits(self, n: int) -> List[int]:
res = [0] * (n + 1)
for mask in range(1, n + 1):
# pre是mask将最低位1变成0后的数字
pre = mask & (mask - 1)
# mask相比pre多了一个1
res[mask] = res[pre] + 1
return res
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