前言
众所周知，《剑指offer》是一本“好书”。
为什么这么说？
因为在面试老鸟眼里，它里面罗列的算法题在面试中出现的频率是非常非常高的。
有多高，以我目前不多的面试来看，在所有遇到的面试算法题中，出现原题的概率大概能有6成，如果把基于原题的变种题目算上，那么这个出现概率能到达9成，10题中9题见过。
如果你是个算法菜鸡（和我一样），那么最推荐的是先把剑指offer的题目搞明白。
至于为什么给“好书”这两个字打引号，因为这本书成了面试官的必备，如果考生不会这本书上的题目，就很可能得到面试官负面的评价。这本书快要成为评判学生算法能力的唯一标准，这使得考前突击变成了一个惯例，反而让投机倒把成了必要，并不一定能真正的考察考生的算法能力。
对于剑指offer题解这个系列，我的写文章思路是，对于看了文章的读者，能够：
- 迅速了解该题常见解答思路（奇技淫巧不包括在内，节省大家时间，实在有研究需求的人可以查阅其它资料）
- 思路尽量贴近原书（例如书中提到的面试官经常会要求不改变原数组，或者有空间限制等，尽量体现在代码中，保证读者可以不漏掉书中细节）
- 尽量精简话语，避免冗长解释
- 给出代码可运行，注释齐全，对细节进行解释
题目介绍
输入n个整数，找出其中最小的K个数。例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4,。
本体分类：优化时间和空间效率
解题思路
初始思路：直接排序 O（nlogn）
直接对数组排序，排序后前k个数就是答案，排序一般较快的是O（nlogn），显然这并不是时间复杂度最优解。
方法一：基于快速排序的变种 O（n）
思路
该方法需要改变原数组。
还记得上一题：数组中超过一半的数字么？这一题的思路和上题类似，仅仅是换成了k个最小的数字。
这种算法是受快速排序算法的启发。
在随机快速排序算法中，我们先数组中随机选择一个数字，然后调整数组中数字的顺序，使得比选中的数字小的数字都排在它的左边，比选中的数字大的数字都排在它的右边。如果这个选中的数字的下标刚好是k，我们就得到了k个小的数字，这些数字在k的左边，并且没有经过排序，但是都比k小。
如果它的下标大于k，我们可以接着在它的左边部分的数组中查找。
如果它的下标小于k，那么中位数应该位于它的右边，我们可以接着在它的右边部分的数组中查找。
这是一个典型的递归过程
详细细节见代码注释。
代码
import java.util.ArrayList;
public class Solution {
public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int [] input, int k) {
// 由于本题需要返回ArrayList<Integer>，所以新建之
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
// 若输入数组长度小于k。直接返回数空的ArrayList
if(input.length < k){
return list;
}
findKMin(input,0,input.length-1,k);
for(int i = 0; i < k; i++){
list.add(input[i]);
}
return list;
}
private void findKMin(int[] a, int start, int end, int k){
if(start < end){
int pos = partition(a, start, end);
if(pos == k-1){
return ;
}else if(pos < k-1){
findKMin(a,pos+1,end,k);
}else{
findKMin(a,start,pos-1,k);
}
}
}
// 快排中的每次排序实现（挖坑填数法），返回的是交换后start位置（快排一次后的中轴点，中轴点左边全是小于它的，右边都是大于它的）
public int partition(int[] a, int start, int end){
int pivot = a[start];
while(start < end){
while(start < end && a[end] >= pivot){end--;};
a[start] = a[end];
while(start < end && a[start] <= pivot){start++;};
a[end] = a[start];
}
a[start] = pivot;
return start;
}
}
方法二：适合海量数据的最大堆 O（nlogk）
思路
该方法不改变原数组，但时间复杂度比O（n）略微复杂了些。
构造一个最大堆，最大堆的性质就是堆顶是所有堆中数字的最大值，那么放入k个数字，随后将数字中k个数字之后的数字依次和堆中的最大数字比较（也就是和堆顶数字比较），如果小于他，就把堆顶数字弹出，放入小的数字，这样遍历一边数组后，得到一个k个数字的最大堆，这个最大堆里存的是最小的k个数。
最大堆的性质由Java中的优先队列，通过自然数的逆序顺序进行维护，也就是下面这句构造：
Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>(k, Collections.reverseOrder());
有的小伙伴会问，为啥最大堆是最小的k个数？
答：说明你对堆还不够了解，恶补一下堆的性质吧~
代码
import java.util.ArrayList;
public class Solution {
public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution_2(int [] input, int k) {
// 由于本题需要返回ArrayList<Integer>，所以新建之
ArrayList<Integer> res = new ArrayList<>();
// 几种特殊情况
if (k > input.length|| k == 0) {
return res;
}
// 构造优先队列，排序方法是自然数顺序的逆序，所以是个最大堆，这样这个堆的堆顶就是所有数中的最大数
Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>(k, Collections.reverseOrder());
for (int i = 0; i < input.length; i++) {
// 最大堆内数字个数少于k，一直添加到k个
if (queue.size() < k) {
queue.add(input[i]);
}
else {
// 若堆内最大的数字大于数组中的数字，则将数字出堆，并放入这个小的数
if (input[i] < queue.peek()) {
queue.remove();
queue.add(input[i]);
}
}
}
// 结束上面循环后，堆内就是最小的k个数
while (!queue.isEmpty()) {
res.add(queue.remove());
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
int[] a = {4,5,1,6,2,7,3,8};
Solution_40 solution_40 = new Solution_40();
System.out.println(solution_40.GetLeastNumbers_Solution(a,4));
}
}
总结
书中提到，第二种堆的方法适合海量数据求k个最小。因为k个数的堆，空间是固定的，当数组超级大，那么全存入内存都变得不可行的时候，就需要从外存中慢慢读取数字，然后和这个堆进行比较。
而方法一就必须吧整个数组放入内存中，才能运行，所以不适合海量数据。
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