1.范德蒙恒等式

这位童鞋写得非常好~

2.伯努利数求自然数幂的和

3.卡特兰数

①前几项：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

②递推式1：

假如 a1 $a_1$第二个出栈，那么只有当 a2 $a_2$进来马上就出去，然后 a1 $a_1$出去这种情况，剩下 3 $3$个数随便怎么弄，就成了子问题 dp[3] $dp\left[3\right]$

假如 a1 $a_1$第三个出栈，那么只有当 a2，a3 $a_2，a_3$出去后再出去，剩下 2 $2$个数随便怎么弄，就成了子问题 dp[2] $dp\left[2\right]$，但是 a2,a3 $a_2,a_3$谁先出去还有个顺序，所以又是个 dp[2] $dp\left[2\right]$，那么总共就是 dp[2]∗dp[2] $dp\left[2\right]\ast dp\left[2\right]$

假如 a1 $a_1$第四个出栈，那么只有当 a2，a3，a4 $a_2，a_3，a_4$出去后再出去，剩下 1 $1$个数随便怎么弄，就成了子问题 dp[1] $dp\left[1\right]$，但是 a2,a3,a4 $a_2,a_3,a_4$谁先出去还有个顺序，所以又是个 dp[3] $dp\left[3\right]$，那么总共就是 dp[3]∗dp[1] $dp\left[3\right]\ast dp\left[1\right]$

假如 a1 $a_1$第五个出栈，那么只有当 a2，a3,a4,a5 $a_2，a_3,a_4,a_5$出去后再出去，剩下 0 $0$个数随便怎么弄，就成了子问题 dp[0] $dp\left[0\right]$，但是 a2,a3,a4,a5 $a_2,a_3,a_4,a_5$谁先出去还有个顺序，所以又是个 dp[4] $dp\left[4\right]$，那么总共就是 dp[4]∗dp[0] $dp\left[4\right]\ast dp\left[0\right]$

其实每一项都有两部分，只不过是 dp[0] $dp\left[0\right]$ 或 dp[1] $dp\left[1\right]$ ，他们的值都是 1 $1$ 于是就省略了，把他们补充完整其实就是卡特兰数~~~

③卡特兰数的解

4.斯特林数

5.莫比乌斯反演

f(n) $f\left(n\right)$是想要求但是不好求的， F(n) $F\left(n\right)$是好求得的

①第一种因子的：

狄利克雷卷积为： F=f∗1 $F=f\ast 1$

②第二种倍数的：