Miller-Rabin素数测试算法

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用来干嘛的

要判断一个数 $n$ 是否为素数，最朴素直接的办法是以 $O(\sqrt n)$ 时间复杂度地从2到 $\sqrt n$ 循环即可得到最准确的结果。但是如果在 $n$ 比较大的情况下，时间花销就太大了。这时，我们可以选择牺牲一点点准确度，使用可爱的米勒-拉宾（Miller-Rabin）素性检验算法来判断质数。根据百度百科，使用快速幂运算，这个算法的时间复杂度是 $O(k\log^3 n)$ 的， $k$ 是我们设定对一个数的进行测试的次数。 $k$ 越大，判断错误的几率越低，保守估计大概是 $4^{-k}$ ，实际效果极佳，我们一般取到10就可以了。

谁搞出来的(摘自百度百科)

米勒-拉宾素性检验是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的Michael O. Rabin教授作出修改，提出了不依赖于该假设的随机化算法。

要用到的数学定理

费马小定理：

如果 $p$ 是一个质数，而且整数 $a$ 与 $p$ 互质（即最小公因数 $gcd(a,p) = 1$ ），则有 $a^{p-1}≡1(mod~p)$ （模 $p$ 同余符号）。但是这个命题的逆命题不一定能判断一个数是否为素数，只能说明不满足 $a^{p-1}≡1(mod~p)$ 条件的 $p$ 一定是合数。在本算法里，主要就是运用了它的逆命题来检验素数的。

证明：不会，感兴趣的同学可以自己搜索相关证明（很多种），用完全剩余系的证明方法比较容易理解

二次探测定理：

若 $n$ 为大于2的素数,则对于任意整数 $a∈[1,n-1]$ ,使方程 $a^2=1(mod~n)$ 成立的解有仅有 $a=1$ 或者 $a=n-1$ 。在算法中同样通过判断是否可以满足这个解情况，增强素数判断的准确性。

证明：~~还是不会~~，其实挺好证明的。这位博主的分析比较详细，可以看看

算法流程

首先对于一个数 $num$ ,先判断是不是偶数和小于等于2这两种可以直接筛掉的情况。如果不是，那么就正式进入判断流程了。 $num$ 必为奇数，则 $num-1$ 一定是个偶数，而偶数可以分解为 $2^s \cdot t = num-1$ 的形式。这里如果我们让两边作为一个整数 $a$ 的指数，不就可以利用费马小定理 $a^{num-1}≡1(mod~num)$ 来检验 $num$ 是否为素数了吗？别急，在算出 $a^{2^s \cdot t}$ 的过程中，我们可以顺便利用二次探测定理来检测，大大提高我们判断的准确度。我们的做法是先随机产生一个比 $num$ 小的整数 $a$ ,先计算出 $a^t$ ,在我下面的代码中把这个值记作 $x$ 。然后循环 $s$ 次，每次都用一个变量 $test$ 记录 $x^2$ 对 $num$ 取模的值，如果 $test = 1$ 则说明 $x^2=1(mod~num)$ 成立，进而可以判断 $x$ 是否为1或者 $num-1$ ，如果 $x$ 都不是则说明 $num$ 肯定不是素数啦。反复运用 $s$ 次二次探测定理，最后再判断一次 $a^{2^s \cdot t}≡1(mod~num)$ 是否成立，如果过了最后费马小定理这关，恭喜这个 $num$ 经过了第一层考验。我们对 $num$ 进行 $k$ 次这样的考验，每次取一个不同的 $a$ ,如果始终没有返回，则说明 $num$ 最终通过了 $Miller$ 测试。

c++代码

码风极丑警告，注释过多。需要用到快速幂和快速乘（不会的同学可以百度一下哦）。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll ;//miller-rabin素数检验一般应用于大数的快速检测，用long long

//快速乘，代替乘法，防止a乘b爆long long
ll qMul(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans = 0;//a乘b等价转化为b个a相加，和快速幂原理一致
    while(b){
        if(b&1) ans = (ans+a)%mod;
        a = (a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

//快速幂模板
ll qPow(ll base,ll power,ll mod){
    ll ans = 1;
    while(power){
        if(power&1) ans = qMul(ans,base,mod);
        base = qMul(base,base,mod);
        power>>=1;
    }
    return ans%mod;
}

//miller-rabin素数检验函数
bool Miller_Rabin(ll num){
    if(num == 2) return true;  //2为质数
    if(!(num&1)||num<2) return false;//筛掉偶数和小于2的数
    ll s = 0,t = num-1;  //流程中的s和t，2的s次方*t = num-1
    while(!(t&1)){         //当t为偶数的时候，可以继续分解
        s++;
        t>>=1;
    }
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {    //进行十次测试即可得到比较准确的判断
        ll a = rand()%(num-1)+1;  //流程中的随机整数a，在1到num-1之间
        ll x = qPow(a,t,num);        //x为二次探测的解
        for(int j = 1;j <= s;j++){      //x平方s次可以得到a的num-1次方
            ll test = qMul(x,x,num); //test为x平方后对num取模
            if(test == 1 && x != 1 && x != num-1) return false;   //如果平方取模结果为1，但是作为解的x不是1或者num-1，说明num不是质数，返回
            x = test;
        }
        if(x != 1) return false;        //费马小定理作最后检测，a的num-1次方对num取模不等于1，一定不是质数
    }
    return true;                          //腥风血雨后仍坚持到最后，基本就是真正的质数了
}

int main(){
    ll num;
    while(cin>>num){
        if(Miller_Rabin(num)) cout<<num<<" is a prime."<<endl;
        else cout<<num<<" is not a prime."<<endl;
    }
    return 0;
}

题目

牛客NC14703素数回文

我就是看了这道题才想去学Miller-Rabin素数检测的（实际上用朴素的方法也能过），用Miller-Rabin可以比朴素的算法快十倍（~~如果哪一天被卡了别打我~~）。感兴趣的可以去做一下，搞出回文数后套Miller-Rabin算法判断即可，注意要开long long。