第九章 树结构基础

本章源码：https://github.com/name365/Java-Data-structure

二叉树

数组 链表 树存储方式分析

为什么需要树这种数据结构?

• 数组存储方式的分析

  • 优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
  • 缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低 。

• 链式存储方式的分析

  • 优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可， 删除效率也很好)。
  • 缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历) 。

• 树存储方式的分析

  • 能提高数据存储，读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。
  • 案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]

二叉树的概念和常用术语

树示意图

树的常用术语(结合示意图理解):
节点
根节点
父节点
子节点
叶子节点 (没有子节点的节点)
节点的权(节点值)
路径(从root节点找到该节点的路线)
层
子树
树的高度(最大层数)
森林 :多颗子树构成森林

二叉树的概念

1. 树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。

2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点。

3. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为满二叉树。
4. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树。

前序中序后序遍历的二叉树图解与实现

使用前序，中序和后序对下面的二叉树进行遍历.

前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树
中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点
小结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序

分析二叉树的前序,中序,后序的遍历步骤：

1. 创建一颗二叉树
2. 前序遍历
    2.1 先输出当前节点(初始的时候是root节点)
    2.2 如果左子节点不为空,则递归继续前序遍历
    2.3 如果右子节点不为空,则递归继续前序遍历
3. 中序遍历
    3.1 如果当前节点的左子节点不为空,则递归中序遍历,
    3.2 输出当前节点
    3.3 如果当前节点的右子节点不为空,则递归中序遍历
4.后序遍历
    4.1 如果当前节点的左子节点不为空,则递归后序遍历,
    4.2 如果当前节点的右子节点不为空,则递归后序遍历
    4.3 输出当前节点        

代码实现如下:

public class BinaryTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		//先创建一棵二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的节点
		HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
		HeroNode hero2 = new HeroNode(2,"吴用");
		HeroNode hero3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
		HeroNode hero4 = new HeroNode(4,"关胜");
		
		//说明,先手动创建二叉树,再递归方式创建二叉树
		root.setLeft(hero2);
		root.setRight(hero3);
		hero3.setLeft(hero4);
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//测试
		System.out.println("前序遍历:");	//1,2,3,4
		binaryTree.perOrder();
		
		//测试2
		System.out.println("中序遍历:");	//2,1,4,3
		binaryTree.infixOrder();
		
		//测试3
		System.out.println("后序遍历:");	//2,4,3,1
		binaryTree.postOrder();
	}

}

// 创建一个HeroNode结点
class HeroNode {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode right; // 默认为null,右子节点

	public HeroNode() {
		super();
	}

	public HeroNode(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}

	// 编写前序遍历的方法
	public void perOrder() {
		System.out.println(this); // 输出父结点
		// 递归向左子树前序遍历
		if (this.left != null) {
			this.left.perOrder();
		}
		// 递归向右子树前序遍历
		if (this.right != null) {
			this.right.perOrder();
		}
	}

	// 编写中序遍历的方法
	public void infixOrder(){
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历 
		if(this.right != null){
			this.right.infixOrder();
		}
	}

	// 编写后序遍历的方法
	public void postOrder(){
		//递归向左子树后序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.postOrder();
		}
		//递归向右子树后序遍历
		if(this.right != null){
			this.right.postOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
	}
}

//定义一个二叉树
class BinaryTree{
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//前序遍历
	public void perOrder() {
		if(this.root != null){
			this.root.perOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.infixOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//后序遍历
	public void postOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.postOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
}

1)前上图的 3号节点 “卢俊义” , 增加一个左子节点 [5, 林冲]

2)使用前序，中序，后序遍历，请写出各自输出的顺序是什么?

代码实现如下:

public class BinaryTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		//先创建一棵二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的节点
		HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
		HeroNode hero2 = new HeroNode(2,"吴用");
		HeroNode hero3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
		HeroNode hero4 = new HeroNode(4,"关胜");
		HeroNode hero5 = new HeroNode(5,"林冲");
		
		//说明,先手动创建二叉树,再递归方式创建二叉树
		root.setLeft(hero2);
		root.setRight(hero3);
		hero3.setLeft(hero5);
		hero3.setRight(hero4);		
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//测试
		System.out.println("前序遍历:");	//1,2,3,5,4
		binaryTree.perOrder();
		
		//测试2
		System.out.println("中序遍历:");	//2,1,5,3,4
		binaryTree.infixOrder();
		
		//测试3
		System.out.println("后序遍历:");	//2,5,4,3,1
		binaryTree.postOrder();
	}
}

// 创建一个HeroNode结点
class HeroNode {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode right; // 默认为null,右子节点

	public HeroNode() {
		super();
	}

	public HeroNode(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}

	// 编写前序遍历的方法
	public void perOrder() {
		System.out.println(this); // 输出父结点
		// 递归向左子树前序遍历
		if (this.left != null) {
			this.left.perOrder();
		}
		// 递归向右子树前序遍历
		if (this.right != null) {
			this.right.perOrder();
		}
	}

	// 编写中序遍历的方法
	public void infixOrder(){
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历 
		if(this.right != null){
			this.right.infixOrder();
		}
	}

	// 编写后序遍历的方法
	public void postOrder(){
		//递归向左子树后序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.postOrder();
		}
		//递归向右子树后序遍历
		if(this.right != null){
			this.right.postOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
	}
}

//定义一个二叉树
class BinaryTree{
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//前序遍历
	public void perOrder() {
		if(this.root != null){
			this.root.perOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.infixOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//后序遍历
	public void postOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.postOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
}

前序中序后序查找思路图解与实现

二叉树-查找指定节点

要求

• 请编写前序查找，中序查找和后序查找的方法。
• 并分别使用三种查找方式，查找 heroNo = 5 的节点
• 并分析各种查找方式，分别比较了多少次
• 思路分析图解如下：

public class BinaryTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		//先创建一棵二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的节点
		HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
		HeroNode hero2 = new HeroNode(2,"吴用");
		HeroNode hero3 = new HeroNode(3,"卢俊义");
		HeroNode hero4 = new HeroNode(4,"关胜");
		HeroNode hero5 = new HeroNode(5,"林冲");
		
		//说明,先手动创建二叉树,再递归方式创建二叉树
		root.setLeft(hero2);
		root.setRight(hero3);
		hero3.setLeft(hero5);
		hero3.setRight(hero4);		
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//前序遍历查找
		//前序遍历查找的次数 :4 
		System.out.println("前序遍历查找方式:");
		HeroNode node = binaryTree.preOrderSearch(5);
		if(node != null){
			System.out.printf("找到了,信息为 id = %d name = %s\n",node.getId(),node.getName());
		} else  {
			System.out.printf("没有找到,相关信息的人物。\n");
		}
		
		//中序遍历查找
		//中序遍历查找次数 :3
		System.out.println("中序遍历查找方式:");
		HeroNode node2 = binaryTree.infoxSearch(5);
		if(node2 != null){
			System.out.printf("找到了,信息为 id = %d name = %s\n",node2.getId(),node2.getName());
		} else  {
			System.out.printf("没有找到,相关信息的人物。\n");
		}
		
		//后序遍历查找
		//后序遍历查找次数 :2
		System.out.println("中序遍历查找方式:");
		HeroNode node3 = binaryTree.postSearch(5);
		if(node3 != null){
			System.out.printf("找到了,信息为 id = %d name = %s\n",node3.getId(),node3.getName());
		} else  {
			System.out.printf("没有找到,相关信息的人物。\n");
		}
		
	}
}

// 创建一个HeroNode结点
class HeroNode {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode right; // 默认为null,右子节点

	public HeroNode() {
		super();
	}

	public HeroNode(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}
	
	//前序遍历查找
	/** * * @Description * @param id 查找的id * @return 如果找到就返回该Node,如果没有找到返回 null */
	public HeroNode preOrdersearch(int id){
// System.out.println("进入前序查找:"); //用于测试查找次数
		//比较当前节点
		if(this.id == id){
			return this;
		}
		//1.判断当前结点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归前序查找
		//2.如果左送归前序查找,找到结点,则返回
		HeroNode res = null;
		if(this.left != null){
			res = this.left.preOrdersearch(id);
		}
		if(res != null){	//找到了左子树
			return res;
		}
		//3.否则继续判断,当前的结点的右子节点是否为空
		//4.如果不空,则维续向右递归前序查找。
		if(this.right != null){
			res = this.right.preOrdersearch(id);
		}
		return res;
	}
	
	//中序遍历查找
	public HeroNode infoxSearch(int id){
		//1.判断当前结点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归中序查找
		HeroNode res = null;
		if(this.left != null){
			res = this.left.infoxSearch(id);
		}
		if(res != null){	//找到了左子树
			return res;
		}
// System.out.println("进入中序查找:"); //用于测试查找次数
		//2.如果找到,则返回,如果没有找到,就和当前结点比较,
		//如果是则返回当前结点,否则继续进行右递归的中序查找
		if(this.id == id){
			return this;
		}
		//3.如果右递归中序查找,找到就返回,否则返回null
		if(this.right != null){
			res = this.right.infoxSearch(id);
		}
		return res;
	}
	
	//后序遍历查找
	public HeroNode postSearch(int id){
		//1.判断当前节点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归后序查找
		HeroNode res = null;
		if(this.left != null){
			res = this.left.postSearch(id);
		}
		if(res != null){	//找到了左子树
			return res;
		}
		//2.如果左子树没有找到,则向右递归进行后序查找,如果找到,就返回
		if(this.right != null){
			res = this.right.postSearch(id);
		}
		if(res != null){	//找到了右子树
			return res;
		}
// System.out.println("进入后序查找:"); //用于测试查找次数
		//3.如果左右子树都没有找到,就比较当前节点是不是
		if(this.id == id){
			return this;
		}
		return res;
	}
}

//定义一个二叉树
class BinaryTree{
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//前序遍历
	public HeroNode preOrderSearch(int id){
		if(root != null){
			return root.preOrdersearch(id);
		}else{
			return null;
		}
	}
	
	//中序遍历
	public HeroNode infoxSearch(int id){
		if(root != null){
			return root.infoxSearch(id);
		}else{
			return null;
		}
	}
	
	//后序遍历
	public HeroNode postSearch(int id){
		if(root != null){
			return root.postSearch(id);
		}else{
			return null;
		}
	}
}

二叉树删除结点思路图解与实现

要求：
1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树.
3.测试，删除掉 5号叶子节点 和 3号子树.
4.相关思路分析如下:    

代码实现:

public class BinaryTreeTest2 {

	public static void main(String[] args) {
		//先创建一棵二叉树
		BinaryTree2 binaryTree = new BinaryTree2();
		//创建需要的节点
		HeroNode2 root = new HeroNode2(1,"宋江");
		HeroNode2 hero2 = new HeroNode2(2,"吴用");
		HeroNode2 hero3 = new HeroNode2(3,"卢俊义");
		HeroNode2 hero4 = new HeroNode2(4,"关胜");
		HeroNode2 hero5 = new HeroNode2(5,"林冲");
		
		//说明,先手动创建二叉树,再递归方式创建二叉树
		root.setLeft(hero2);
		root.setRight(hero3);
		hero3.setLeft(hero5);
		hero3.setRight(hero4);		
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//测试删除
		System.out.println("删除前,前序遍历:");
		binaryTree.perOrder(); // 1,2,3,5,4
		binaryTree.delNode(5);
// binaryTree.delNode(3);
		System.out.println("删除后，前序遍历:");
		binaryTree.perOrder(); // 1,2,3,4
		
	}
}

// 创建一个HeroNode结点
class HeroNode2 {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode2 left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode2 right; // 默认为null,右子节点

	public HeroNode2() {
		super();
	}

	public HeroNode2(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode2 getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode2 left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode2 getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode2 right) {
		this.right = right;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}
	
	//前序遍历
	public void perOrder() {
		System.out.println(this); // 输出父结点
		// 递归向左子树前序遍历
		if (this.left != null) {
			this.left.perOrder();
		}
		// 递归向右子树前序遍历
		if (this.right != null) {
			this.right.perOrder();
		}
	}

	// 编写中序遍历的方法
	public void infixOrder(){
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历 
		if(this.right != null){
			this.right.infixOrder();
		}
	}

	// 编写后序遍历的方法
	public void postOrder(){
		//递归向左子树后序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.postOrder();
		}
		//递归向右子树后序遍历
		if(this.right != null){
			this.right.postOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
	}
	
	//递归删除结点
	//1.如果删除的节点是叶子节点,则删除该节点
	//2.如果删除的节点是非叶子节点,则删除该子树
	public void delNode(int id){
		/** * 思路: * 1.因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点. * 2.如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点就是要删除结点，就将this.left = null;并且就返回(结束递归删除) * 3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点就是要删除结点，就将this.right = null;并且就返回(结束递归删除) * 4.如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除 * 5.如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除. * */
		// 2.如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点就是要删除结点，就将this.left = null;并且就返回(结束递归删除)
		if(this.left != null && this.left.id == id){
			this.left = null;
			return;
		}
		//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点就是要删除结点，就将this.right = null;并且就返回(结束递归删除)
		if(this.right != null && this.right.id == id){
			this.right = null;
			return;
		}
		//4.如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
		if(this.left != null){
			this.left.delNode(id);
		}
		//5.如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
		if(this.right != null){
			this.right.delNode(id);
		}
	}
}

//定义一个二叉树
class BinaryTree2{
	private HeroNode2 root;

	public void setRoot(HeroNode2 root) {
		this.root = root;
	}
	
	//前序遍历
	public void perOrder() {
		if(this.root != null){
			this.root.perOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.infixOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//后序遍历
	public void postOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.postOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}
	
	//删除节点
	public void delNode(int id){
		if(root != null){
			//如果只有一个root结点，则等价将二叉树置空
			if(root.getId() == id){
				root = null;
			}else{
				//递归删除
				root.delNode(id);
			}
		}else{
			System.out.println("空树,不能删除");
		}
	}
}

思考题(课后练习)
1.如果要删除的节点是非叶子节点，现在我们不希望将该非叶子节点为根节点的子树删除，需要指定规则, 假如规定如下:
2.如果该非叶子节点A只有一个子节点B，则子节点B替代节点A
3.如果该非叶子节点A有左子节点B和右子节点C，则让左子节点B替代节点A。

————>具体参考思路及代码：第11章 二叉排序树的删除！！！！

顺序存储二叉树

基本说明:

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，
参考上面的示意图。

要求:
1.上图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6]
2.要求在遍历数组 arr时，仍然可以用前序遍历，中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历

顺序存储二叉树的特点:

1.顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
2.第n个元素的左子节点为  2 * n + 1 
3.第n个元素的右子节点为  2 * n + 2
4.第n个元素的父节点为  (n-1) / 2

5.n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号,如图所示)

需求: 给你一个数组 *{*1,2,3,4,5,6,7}，要求以二叉树前序遍历的方式进行遍历。 前序遍历的结果应当为 1,2,4,5,3,6,7

• 代码实现如下:

public class BTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
		//创建一个 BTree
		BTree bTree = new BTree(arr);
		bTree.preOrder();
	}

}

//编写一个BTree,实现顺序存储二叉树遍历
class BTree{
	private int[] arr;	//存储数据结点的数组

	public BTree(int[] arr) {
		super();
		this.arr = arr;
	}
	
	//重载方法
	public void preOrder(){
		this.preOrder(0);
	}
	
	//编写方法,实现顺序存储二叉树的前序遍历
	//index:数组的下标
	public void preOrder(int index){
		//如果数组为空,或arr.length = 0
		if(arr == null || arr.length == 0){
			System.out.println("数组为空,无法遍历查找。");
		}
		//输出当前数组的元素
		System.out.println(arr[index]);
		//向左递归遍历
		if((index * 2 + 1) < arr.length){			
			preOrder(2 * index + 1);
		}
		//向右递归遍历
		if((index * 2 + 2) < arr.length) {
			preOrder(2 * index + 2);
		}
	}
}

课后练习：请完成对数组以二叉树中序，后序遍历方式的代码.

public class BTreeTest2 {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
		//创建一个 BTree
		BTree2 bTree = new BTree2(arr);
		bTree.infixOrder(0);	//中序
		System.out.println();
		bTree.postOrder(0);	//后序
	}

}

//编写一个BTree,实现顺序存储二叉树遍历
class BTree2{
	private int[] arr;	//存储数据结点的数组

	public BTree2(int[] arr) {
		super();
		this.arr = arr;
	}
	
	//编写方法,实现顺序存储二叉树的中序遍历
	public void infixOrder(int index){
		//向左递归遍历
		if((index * 2 + 1) < arr.length){			
			infixOrder(2 * index + 1);
		}
		//如果数组为空,或arr.length = 0
		if(arr == null || arr.length == 0){
			System.out.println("数组为空,无法遍历查找。");
		}
		//输出当前数组的元素
		System.out.print("中序遍历:" + arr[index] + " ");
		//向右递归遍历
		if((index * 2 + 2) < arr.length) {
			infixOrder(2 * index + 2);
		}
	}
	
	//编写方法,实现顺序存储二叉树的后序遍历
	public void postOrder(int index){
		//向左递归遍历
		if((index * 2 + 1) < arr.length){			
			postOrder(2 * index + 1);
		}
		//向右递归遍历
		if((index * 2 + 2) < arr.length) {
			postOrder(2 * index + 2);
		}
		//如果数组为空,或arr.length = 0
		if(arr == null || arr.length == 0){
			System.out.println("数组为空,无法遍历查找。");
		}
		//输出当前数组的元素
		System.out.print("后序遍历:" + arr[index] + " ");
	}
}

顺序存储二叉树应用实例

• 八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树， 关于堆排序，请参考<< 第11章 树结构实际应用 >> 。

线索化二叉树

线索化二叉树基本介绍

先看一个问题：

将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树. n+1=7

问题分析: 
1.当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 6, 14 }
2.但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上.
3.如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
4.解决方案 ---> 线索二叉树

线索二叉树基本介绍

• n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"
• 这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
• 一个结点的前一个结点，称为前驱结点
• 一个结点的后一个结点，称为后继结点

线索化二叉树思路图解及实现

应用案例说明：将下面的二叉树，进行中序线索二叉树。中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}

• 思路分析: 中序遍历的结果：{8, 3, 10, 1, 14, 6}

说明: 当线索化二叉树后，Node节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:
1.left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.
2.right指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点right 指向的是右子树，而⑩ 节点的right 指向的是后继节点.

public class ThreadedBinaryTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		//测试中序线索二叉树的功能
		HeroNode root = new HeroNode(1, "Z1");
		HeroNode node2 = new HeroNode(3, "S5");
		HeroNode node3 = new HeroNode(6, "R6");
		HeroNode node4 = new HeroNode(8, "G4");
		HeroNode node5 = new HeroNode(10, "P8");
		HeroNode node6 = new HeroNode(14, "Q1");
		
		//二叉树，后面需要要递归创建,所以先简单处理使用手动创建
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node2.setLeft(node4);
		node2.setRight(node5);
		node3.setLeft(node6);
		
		//测试中序线索化
		ThreadTree threadTree = new ThreadTree();
		threadTree.setRoot(root);
		threadTree.treadNodes();
		
		//测试:以10号节点测试
		HeroNode left = node5.getLeft();
		HeroNode right = node5.getRight();
		System.out.println("10号节点的前驱是:" + left);
		System.out.println("10号节点的后继是:" + right);
		
	}
}
//创建一个HeroNode结点
class HeroNode {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode right; // 默认为null,右子节点
	
	//说明:
	//1.如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
	//2.如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
	private int leftType;
	private int rightType;

	public HeroNode() {
		super();
	}

	public HeroNode(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}

	public int getLeftType() {
		return leftType;
	}

	public void setLeftType(int leftType) {
		this.leftType = leftType;
	}

	public int getRightType() {
		return rightType;
	}

	public void setRightType(int rightType) {
		this.rightType = rightType;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}
	
}

//定义一个ThreadTree二叉树,实现线索化功能
class ThreadTree{
	private HeroNode root;
	
	//为了实现线索化,需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
	//在递归进行线索化时,pre 总是保留前一个结点
	private HeroNode pre = null;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//重载 线索化的方法treadNodes
	public void treadNodes(){
		this.treadNodes(root);
	}

	//编写对二叉树进行中序线索化的方法
	//node 即当前需要线索化的结点
	public void treadNodes(HeroNode node){
		//如果node==null,无法线索化
		if(node == null) {
			return;
		}
			
		//1.先线索化左子树
		treadNodes(node.getLeft());
		//2.线索化当前结点
			
		//处理当前结点的前驱结点
		//例如:8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
		if(node.getLeft() == null) {
			//让当前结点的左指针指向前驱结点 
			node.setLeft(pre); 
			//修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
			node.setLeftType(1);
		}
			
		//处理后继结点
		if (pre != null && pre.getRight() == null) {
			pre.setRight(node);		//让前驱结点的右指针指向当前结点
			pre.setRightType(1);	//修改前驱结点的右指针类型
		}
		//重要:每处理一个结点后,让当前结点是下一个结点的前驱结点
		pre = node;
		
		//3.再线索化右子树
		treadNodes(node.getRight());
	}	
}

遍历线索化二叉树实现

说明：对前面的中序线索化的二叉树， 进行遍历

分析：因为线索化后，各个结点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这时需要使用新的方式遍历线索化二叉树，各个节点可以通过线型方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。 遍历的次序应当和中序遍历保持一致。

• 代码实现:

public class ThreadedBinaryTreeTest2 {

	public static void main(String[] args) {
		//测试中序线索二叉树的功能
		HeroNode2 root = new HeroNode2(1, "Z1");
		HeroNode2 node2 = new HeroNode2(3, "S5");
		HeroNode2 node3 = new HeroNode2(6, "R6");
		HeroNode2 node4 = new HeroNode2(8, "G4");
		HeroNode2 node5 = new HeroNode2(10, "P8");
		HeroNode2 node6 = new HeroNode2(14, "Q1");
		
		//二叉树，后面需要要递归创建,所以先简单处理使用手动创建
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node2.setLeft(node4);
		node2.setRight(node5);
		node3.setLeft(node6);
		
		//测试中序线索化
		ThreadTree2 threadTree = new ThreadTree2();
		threadTree.setRoot(root);
		threadTree.treadNodes();
		
		//测试:以10号节点测试
		HeroNode2 left = node5.getLeft();
		HeroNode2 right = node5.getRight();
		System.out.println("10号节点的前驱是:" + left);
		System.out.println("10号节点的后继是:" + right);
		
		//当线索化二叉树后，不能再使用初始遍历方式
// threadTree.infixOrder(); //会报错,死循环换溢出
		
		System.out.println("使用线索化的方式遍历线索化二叉树:");
		threadTree.threadedList();
	}
}
//创建一个HeroNode2结点
class HeroNode2 {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode2 left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode2 right; // 默认为null,右子节点
	
	//说明:
	//1.如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
	//2.如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
	private int leftType;
	private int rightType;

	public HeroNode2() {
		super();
	}

	public HeroNode2(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode2 getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode2 left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode2 getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode2 right) {
		this.right = right;
	}

	public int getLeftType() {
		return leftType;
	}

	public void setLeftType(int leftType) {
		this.leftType = leftType;
	}

	public int getRightType() {
		return rightType;
	}

	public void setRightType(int rightType) {
		this.rightType = rightType;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder(){
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null){
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父节点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历 
		if(this.right != null){
			this.right.infixOrder();
		}
	}
	
}

//定义一个ThreadTree2二叉树,实现线索化功能
class ThreadTree2{
	private HeroNode2 root;
	
	//为了实现线索化,需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
	//在递归进行线索化时,pre 总是保留前一个结点
	private HeroNode2 pre = null;

	public void setRoot(HeroNode2 root) {
		this.root = root;
	}
	
	//遍历线索化二叉树的方法
	public void threadedList() {
		//定义一个变量,用于|存储当前遍历的结点,从root开始
		HeroNode2 node = root;
		while(node != null){
			//循环的找到leftType == 1的结点,第一个找到就是8结点
			//后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时,说明该结点是按照线索化处理后的有效结点
			while(node.getLeftType() == 0){
				node = node.getLeft();
			}
			//打印当前节点
			System.out.println(node);
			//如果当前结点的右指针指向的是后继结点,则会一直输出
			while(node.getLeftType() == 1){
				//获得当前节点的后继节点
				node = node.getRight();
				System.out.println(node);
			}
			//替换这个遍历节点
			node = node.getRight();
		}
	}

	//中序遍历
	public void infixOrder(){
		if(this.root != null){
			this.root.infixOrder();
		}else{
			System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
		}
	}

	//重载 线索化的方法treadNodes
	public void treadNodes(){
		this.treadNodes(root);
	}

	//编写对二叉树进行中序线索化的方法
	//node 即当前需要线索化的结点
	public void treadNodes(HeroNode2 node){
		//如果node==null,无法线索化
		if(node == null) {
			return;
		}
			
		//1.先线索化左子树
		treadNodes(node.getLeft());
		//2.线索化当前结点
			
		//处理当前结点的前驱结点
		//例如:8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
		if(node.getLeft() == null) {
			//让当前结点的左指针指向前驱结点 
			node.setLeft(pre); 
			//修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
			node.setLeftType(1);
		}
			
		//处理后继结点
		if (pre != null && pre.getRight() == null) {
			pre.setRight(node);		//让前驱结点的右指针指向当前结点
			pre.setRightType(1);	//修改前驱结点的右指针类型
		}
		//重要:每处理一个结点后,让当前结点是下一个结点的前驱结点
		pre = node;
		
		//3.再线索化右子树
		treadNodes(node.getRight());
	}	
}

课后作业:

上面叙述了中序线索化二叉树，请写出前序线索化二叉树和后序线索化二叉树的实现.

• 前序化遍历

public class ThreadedBinaryTreeTest {

	public static void main(String[] args) {
		// 测试前、后序线索二叉树的功能
		HeroNode root = new HeroNode(1, "Z1");
		HeroNode node2 = new HeroNode(3, "S5");
		HeroNode node3 = new HeroNode(6, "R6");
		HeroNode node4 = new HeroNode(8, "G4");
		HeroNode node5 = new HeroNode(10, "P8");
		HeroNode node6 = new HeroNode(14, "Q1");

		// 二叉树，后面需要要递归创建,所以先简单处理使用手动创建
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node2.setLeft(node4);
		node2.setRight(node5);
		node3.setLeft(node6);

		// 测试前序线索化
		ThreadTree threadTree = new ThreadTree();
		threadTree.setRoot(root);
		threadTree.endTreadNodes(root);

		// 测试:以10号节点测试
		HeroNode left = node5.getLeft();
		HeroNode right = node5.getRight();
		System.out.println("10号节点的前驱是:" + left);
		System.out.println("10号节点的后继是:" + right);

		System.out.println("使用线索化的方式遍历线索化二叉树:");
		threadTree.threadedList(); // 1,3,8,10,6,14
	}
}

// 定义一个ThreadTree二叉树,实现线索化功能
class ThreadTree {
	private HeroNode root;

	// 为了实现线索化,需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
	// 在递归进行线索化时,pre 总是保留前一个结点
	private HeroNode pre = null;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}

	// 前序遍历线索化二叉树的方法
	public void threadedList() {
		// 定义一个变量,用于|存储当前遍历的结点,从root开始
		HeroNode node = root;
		while (node != null) {
			// 循环的找到leftType == 1的结点,第一个找到就是8结点
			// 后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时,说明该结点是按照线索化处理后的有效结点
			while (node.getLeftType() != 1) {
				System.out.println(node);
				node = node.getLeft();
			}
			System.out.println(node);
			// 替换这个遍历节点
			node = node.getRight();
		}
	}

	// 编写对二叉树进行前序线索化的方法
	// node 即当前需要线索化的结点
	public void endTreadNodes(HeroNode node) {

		// 2.再线索化左子树
		if (node == null) {
			return;
		}
		
		// 1.先线索化当前结点
		// 处理当前结点的前驱结点
		// 例如:8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
		if (node.getLeft() == null) {
			// 让当前结点的左指针指向前驱结点
			node.setLeft(pre);
			// 修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
			node.setLeftType(1);
		}

		// 处理后继结点
		if (pre != null && pre.getRight() == null) {
			pre.setRight(node); // 让前驱结点的右指针指向当前结点
			pre.setRightType(1); // 修改前驱结点的右指针类型
		}
		// 重要:每处理一个结点后,让当前结点是下一个结点的前驱结点
		pre = node;
		
		// 2.再线索化左子树
		if(node.getLeftType() != 1) {
			endTreadNodes(node.getLeft());
		}
		
		// 3.再线索化右子树
		if(node.getRightType() != 1) {
			endTreadNodes(node.getRight());
		}	
	}
}

// 创建一个HeroNode结点
class HeroNode {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode right; // 默认为null,右子节点

	// 说明:
	// 1.如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
	// 2.如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
	private int leftType;
	private int rightType;

	public HeroNode() {
		super();
	}

	public HeroNode(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}

	public int getLeftType() {
		return leftType;
	}

	public void setLeftType(int leftType) {
		this.leftType = leftType;
	}

	public int getRightType() {
		return rightType;
	}

	public void setRightType(int rightType) {
		this.rightType = rightType;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}
}

• 后序化遍历

public class ThreadedBinaryTreeTest2 {

	public static void main(String[] args) {
		// 测试前、后序线索二叉树的功能
		HeroNode2 root = new HeroNode2(1, "Z1");
		HeroNode2 node2 = new HeroNode2(3, "S5");
		HeroNode2 node3 = new HeroNode2(6, "R6");
		HeroNode2 node4 = new HeroNode2(8, "G4");
		HeroNode2 node5 = new HeroNode2(10, "P8");
		HeroNode2 node6 = new HeroNode2(14, "Q1");

		// 二叉树，后面需要要递归创建,所以先简单处理使用手动创建
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node2.setLeft(node4);
		node2.setRight(node5);
		node3.setLeft(node6);
		
		//添加父节点
		node2.setParent(root);
		node3.setParent(root);
		node4.setParent(node2);
		node5.setParent(node2);
		node6.setParent(node3);

		// 测试后序线索化
		ThreadTree2 threadTree = new ThreadTree2();
		threadTree.setRoot(root);
		threadTree.endTreadNodes(root);

		// 测试:以10号节点测试
		HeroNode2 left = node5.getLeft();
		HeroNode2 right = node5.getRight();
		System.out.println("10号节点的前驱是:" + left);
		System.out.println("10号节点的后继是:" + right);

		System.out.println("使用线索化的方式遍历线索化二叉树:");
		threadTree.threadedList(); //
	}
}

// 定义一个ThreadTree2二叉树,实现线索化功能
class ThreadTree2 {
	private HeroNode2 root;

	// 为了实现线索化,需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
	// 在递归进行线索化时,pre 总是保留前一个结点
	private HeroNode2 pre = null;

	public void setRoot(HeroNode2 root) {
		this.root = root;
	}

	// 后序遍历线索化二叉树的方法
	public void threadedList() {
		//定义一个变量,用于|存储当前遍历的结点,从root开始
		HeroNode2 node = root;
		while(node != null && node.getLeftType() != 1){
				node = node.getLeft();
		}
		HeroNode2 pre = null;
		while(node != null){
			if(node.getRightType()!= 0){
				System.out.println(node);
				pre = node;
				node = node.getRight();
			}else{
				if(node.getRight() == pre){
					System.out.println(node);
					if(node == root){
						return;
					}
					pre = node;
					node = node.getParent();
				}else{
					node = node.getRight();
					while(node.getLeftType() != 1){
						node = node.getLeft();
					}
				}
			}
		}
	}

	// 编写对二叉树进行后序线索化的方法
	// node 即当前需要线索化的结点
	public void endTreadNodes(HeroNode2 node) {
		// 如果node==null,无法线索化
		if (node == null) {
			return;
		}
		
		// 1.线索化左子树
		endTreadNodes(node.getLeft());
		
		// 2.再线索化右子树
		endTreadNodes(node.getRight());
		
		// 3.线索化当前结点
		if (node.getLeft() == null) {
			// 让当前结点的左指针指向前驱结点
			node.setLeft(pre);
			// 修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
			node.setLeftType(1);
		}
		
		// 处理后继结点
		if (pre != null && pre.getRight() == null) {
			pre.setRight(node); // 让前驱结点的右指针指向当前结点
			pre.setRightType(1); // 修改前驱结点的右指针类型
		}
		// 重要:每处理一个结点后,让当前结点是下一个结点的前驱结点
		pre = node;
	}
}

//创建一个HeroNode2结点
class HeroNode2 {
	private int id;
	private String name;
	private HeroNode2 left; // 默认为null,左子节点
	private HeroNode2 right; // 默认为null,右子节点
	private HeroNode2 parent;	//父结点指针

	// 说明:
	// 1.如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
	// 2.如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
	private int leftType = 0;
	private int rightType = 0;

	public HeroNode2() {
		super();
	}

	public HeroNode2(int id, String name) {
		super();
		this.id = id;
		this.name = name;
	}

	public int getId() {
		return id;
	}

	public void setId(int id) {
		this.id = id;
	}

	public String getName() {
		return name;
	}

	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}

	public HeroNode2 getLeft() {
		return left;
	}

	public void setLeft(HeroNode2 left) {
		this.left = left;
	}

	public HeroNode2 getRight() {
		return right;
	}

	public void setRight(HeroNode2 right) {
		this.right = right;
	}

	public int getLeftType() {
		return leftType;
	}

	public void setLeftType(int leftType) {
		this.leftType = leftType;
	}

	public int getRightType() {
		return rightType;
	}

	public void setRightType(int rightType) {
		this.rightType = rightType;
	}
	
	public HeroNode2 getParent() {
		return parent;
	}

	public void setParent(HeroNode2 parent) {
		this.parent = parent;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [id=" + id + ", name=" + name + "]";
	}
}

参考链接：二叉树的线索化与线索二叉树的遍历（Java实现）
这节对于初学的我来说，比较不易理解，虽然写完了，但仍有诸多不解，做此纪录，便于查阅！！！欢迎指正！！！