题解 | #小红走网格#

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题目描述

小红从原点 $(0, 0)$ 出发，可以进行四种移动：

向上移动 $a$ 步
向下移动 $b$ 步
向左移动 $c$ 步
向右移动 $d$ 步问她是否能通过若干次移动到达目标点 $(x, y)$ 。

解题思路

这个问题可以分解为两个独立的一维问题：一个是在 $x$ 轴上的移动，另一个是在 $y$ 轴上的移动。

1. Y 轴方向的移动 在 $y$ 轴上，小红可以向上移动 $a$ 或向下移动 $b$ 。假设她向上移动了 $u$ 次，向下移动了 $v$ 次，那么她最终的 $y$ 坐标就是 $y_{final} = u \cdot a - v \cdot b$ 。

这是一个线性丢番图方程。根据裴蜀定理（Bézout's identity），对于方程 $A \cdot x + B \cdot y = C$ ，它有整数解 $(x, y)$ 的充要条件是 $C$ 是 $\gcd(A, B)$ 的倍数。

应用到本题中， $y$ 坐标能达到的所有位置集合就是 $\{k \cdot \gcd(a, b) \mid k \in \mathbb{Z}\}$ ，即所有 $\gcd(a, b)$ 的整数倍。

因此，要想到达目标 $y$ 坐标，必须满足 $y$ 是 $\gcd(a, b)$ 的倍数，即 $y \pmod{\gcd(a, b)} = 0$ 。

2. X 轴方向的移动 同理，在 $x$ 轴上，小红可以向右移动 $d$ 或向左移动 $c$ 。假设她向右移动了 $r$ 次，向左移动了 $l$ 次，最终的 $x$ 坐标就是 $x_{final} = r \cdot d - l \cdot c$ 。

根据裴蜀定理， $x$ 坐标能达到的所有位置集合是所有 $\gcd(c, d)$ 的整数倍。

因此，要想到达目标 $x$ 坐标，必须满足 $x$ 是 $\gcd(c, d)$ 的倍数，即 $x \pmod{\gcd(c, d)} = 0$ 。

综合结论 小红能到达目标点 $(x, y)$ 的充要条件是， $x$ 坐标和 $y$ 坐标都必须能独立到达。所以，必须同时满足以下两个条件：

$|y|$ 是 $\gcd(a, b)$ 的倍数。
$|x|$ 是 $\gcd(c, d)$ 的倍数。

我们对 $x$ 和 $y$ 取绝对值是因为移动方向是双向的，能到达 $y$ 就一定能到达 $-y$ 。

代码

c++
java
python

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <numeric>
#include <utility>

using namespace std;

// 手动实现 gcd 以确保兼容性
long long custom_gcd(long long a, long long b) {
    while (b) {
        a %= b;
        swap(a, b);
    }
    return a;
}

void solve() {
    long long x, y, a, b, c, d;
    cin >> x >> y >> a >> b >> c >> d;
    // 检查 y 坐标的可达性
    bool y_reachable = (abs(y) % custom_gcd(a, b) == 0);
    // 检查 x 坐标的可达性
    bool x_reachable = (abs(x) % custom_gcd(c, d) == 0);

    if (x_reachable && y_reachable) {
        cout << "YES\n";
    } else {
        cout << "NO\n";
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    // 辗转相除法求最大公因数
    public static long gcd(long a, long b) {
        while (b != 0) {
            long temp = a % b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return a;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int t = sc.nextInt();
        while (t-- > 0) {
            long x = sc.nextLong();
            long y = sc.nextLong();
            long a = sc.nextLong();
            long b = sc.nextLong();
            long c = sc.nextLong();
            long d = sc.nextLong();
            
            boolean y_reachable = (Math.abs(y) % gcd(a, b) == 0);
            boolean x_reachable = (Math.abs(x) % gcd(c, d) == 0);
            
            if (x_reachable && y_reachable) {
                System.out.println("YES");
            } else {
                System.out.println("NO");
            }
        }
    }
}

import math

def solve():
    x, y, a, b, c, d = map(int, input().split())
    
    # 检查 y 坐标的可达性
    y_reachable = (abs(y) % math.gcd(a, b) == 0)
    # 检查 x 坐标的可达性
    x_reachable = (abs(x) % math.gcd(c, d) == 0)
    
    if x_reachable and y_reachable:
        print("YES")
    else:
        print("NO")

t = int(input())
for _ in range(t):
    solve()

算法及复杂度

算法：数论、裴蜀定理、最大公约数
时间复杂度：对于每组测试数据，主要计算两次最大公约数。辗转相除法的时间复杂度为 $O(\log(\min(p, q)))$ 。因此，总时间复杂度为 $O(T \cdot (\log(\min(a, b)) + \log(\min(c, d))))$ 。
空间复杂度： $O(1)$ 。