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曼哈顿距离最小生成树

一、前人种树

博客：曼哈顿距离最小生成树与莫队算法

博客：学习总结：最小曼哈顿距离生成树

二、知识梳理

曼哈顿距离：给定二维平面上的N个点，在两点之间连边的代价。（即distance(P1,P2) = |x1－x2|+|y1－y2|）

曼哈顿距离最小生成树问题求什么？求使所有点连通的最小代价。

最小生成树的“环切”性质：在图G = (V, E)中，如果存在一个环，那么把环上的最大边e删除后得到的图G’ = (V, E- {e})的最小生成树的边权和与G相同。

三、难点剖析

【废话定理神马的，很难懂只要记住就是了】

朴素的算法可以用O(N2)的Prim，或者处理出所有边做Kruskal，但在这里总边数有O(N2)条，所以Kruskal的复杂度变成了O(N2logN)。

但是事实上，真正有用的边远没有O(N2)条。我们考虑每个点会和其他一些什么样的点连边。

可以得出这样一个结论：以一个点为原点建立直角坐标系，在每45度内只会向距离该点最近的一个点连边。

证明结论：假设我们以点A为原点建系，考虑在y轴向右45度区域内的任意两点B(x1,y1)和C(x2,y2)，不妨设|AB|≤|AC|（这里的距离为曼哈顿距离），如下图：

|AB|=x1+y1，|AC|=x2+y2，|BC|=|x1-x2|+|y1-y2|。而由于B和C都在y轴向右45度的区域内，有y-x>0且x>0。下面我们分情况讨论：

x1>x2且y1>y2。这与|AB|≤|AC|矛盾；
x1≤x2且y1>y2。此时|BC|=x2-x1+y1-y2，|AC|-|BC|=x2+y2-x2+x1-y1+y2=x1-y1+2*y2。由前面各种关系可得y1>y2>x2>x1。假设|AC|<|BC|即y1>2*y2+x1，那么|AB|=x1+y1>2*x1+2*y2，|AC|=x2+y2<2*y2<|AB|与前提矛盾，故|AC|≥|BC|；
x1>x2且y1≤y2。与2同理；
x1≤x2且y1≤y2。此时显然有|AB|+|BC|=|AC|，即有|AC|>|BC|。

综上有|AC|≥|BC|，也即在这个区域内只需选择距离A最近的点向A连边。

这种连边方式可以保证边数是O(N)的，那么如果能高效处理出这些边，就可以用Kruskal在O(NlogN)的时间内解决问题。下面我们就考虑怎样高效处理边。

我们只需考虑在一块区域内的点，其他区域内的点可以通过坐标变换“移动”到这个区域内。为了方便处理，我们考虑在y轴向右45度的区域。在某个点A(x0,y0)的这个区域内的点B(x1,y1)满足x1≥x0且y1-x1>y0-x0。这里对于边界我们只取一边，但是操作中两边都取也无所谓。那么|AB|=y1-y0+x1-x0=(x1+y1)-(x0+y0)。在A的区域内距离A最近的点也即满足条件的点中x+y最小的点。因此我们可以将所有点按x坐标排序，再按y-x离散，用线段树或者树状数组维护大于当前点的y-x的最小的x+y对应的点。时间复杂度O(NlogN)。

至于坐标变换，一个比较好处理的方法是第一次直接做；第二次沿直线y=x翻转，即交换x和y坐标；第三次沿直线x=0翻转，即将x坐标取相反数；第四次再沿直线y=x翻转。注意只需要做4次，因为边是双向的。

至此，整个问题就可以在O(NlogN)的复杂度内解决了。

【回到正题】

一个点把平面分成了8个部分：

由上面的废话可知，我们只需要让这个点与每个部分里距它最近的点连边。

拿R1来说吧：

如图，i的R1区域里距i最近的点是j。也就是说，其他点k都有：

xj + yj <= xk + yk

那么k将落在如下阴影部分：

显然，边(i,j), (j,k), (i,k)构成一个环<i,j,k>，而(i,k)一定是最长边，可以被删去。所以我们只连边(i,j)。

为了避免重复加边，我们只考虑R1~R4这4个区域。（总共加了4N条边）

这4个区域的点(x,y)要满足什么条件？

如果点(x,y)在R1，它要满足：x ≥ xi ,y – x ≥ yi – xi（最近点的x + y最小）
如果点(x,y)在R2，它要满足：y ≥ yi ,y – x ≤ yi – xi（最近点的x + y最小）
如果点(x,y)在R3，它要满足：y ≤ yi ,y + x ≥ yi + xi（最近点的y – x最小）
如果点(x,y)在R4，它要满足：x ≥ xi ,y + x ≤ yi – xi（最近点的y – x最小）

其中一个条件用排序，另一个条件用数据结构（这种方法很常用），在数据结构上询问，找最近点。因为询问总是前缀或后缀，所以可以用树状数组。

POJ3241Object Clustering

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int N = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
struct edge
{
    int x, y, v;
    bool operator < (const edge &tmp) const
    {
        return v < tmp.v;
    }
} E[N<<3];
 
struct point
{
    int x, y, id;
    bool operator < (const point &tmp) const
    {
        return x == tmp.x ? y < tmp.y : x < tmp.x;
    }
} P[N];
 
struct lsh
{
    int id, a;
    bool operator < (const lsh &tmp) const
    {
        return a < tmp.a;
        /*     if (a == tmp.a) return id < tmp.id;
                return a < tmp.a;
        */
    }
} LSH[N];
 
int A[N], F[N];
int MI[N], ID[N];
int n, c, sz, tot, cnt;
 
int lowbit (int x)
{
    return x&(-x);
}
 
int query(int x)
{
    int ans = -1, mi = inf;
    for (; x <= n; x += lowbit(x))
        if (MI[x] < mi)
        {
            mi = MI[x];
            ans = ID[x];
        }
    return ans;
}
 
void modify(int x, int mi, int id)
{
    for (; x > 0; x -= lowbit(x))
        if (MI[x] > mi)
        {
            MI[x] = mi;
            ID[x] = id;
        }
}
//BIT维护的是某数字代表的区间的X+Y最小值, 若一区间的不同位置最小值不同, 该区间则没有最小值(即MI数组维护的是其表示的区间都可以取到的最小值)
int find(int x)
{
    return F[x] == x ? x : F[x] = find(F[x]);
}
 
void join(int x, int y)
{
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy) return;
    F[fx] = fy;
    cnt++;
}
 
void init ()
{
    sort(P + 1, P + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        LSH[i].a = P[i].y - P[i].x;
        LSH[i].id = i;
        MI[i] = inf;
        ID[i] = -1;
    }
}
 
int abs(int x, int y)
{
    return x > 0 ? x : -x;
}
 
int dts(int x, int y)
{
    return abs(P[x].x - P[y].x) + abs(P[x].y  -P[y].y);
}
 
void add_edge (int x, int y, int d)
{
    E[++sz].x = x;
    E[sz].y = y;
    E[sz].v = d;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &P[i].x, &P[i].y);
        P[i].id = i;
    }
    for (int cas = 1; cas <= 4; ++cas)
    {
        if (cas == 2 || cas == 4)
            for (int i = 1; i <= n; ++i)
                swap(P[i].x, P[i].y);
        if (cas == 3)
            for (int i = 1; i <= n; ++i)
                P[i].x = -P[i].x;
        init();
        sort(LSH + 1, LSH + n + 1);//按Y-X离散化
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            A[LSH[i].id] = i; //A表示某点在BIT中的位置
        for (int i = n; i >= 1; --i)
        {
            int tmp = query(A[i]);
            if (tmp != -1)
                add_edge(P[tmp].id, P[i].id, dts(tmp, i));
            modify(A[i], P[i].x + P[i].y, i);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) F[i] = i;
    sort(E + 1, E + sz + 1);
    for (int i = 1; i <= sz; ++i)
    {
        join(E[i].x, E[i].y);
        if (cnt == n - c)
        {
            printf("%d\n", E[i].v);
            break;
        }
    }
    return 0;
}