二进制原码、反码、补码

涉及到的1的个数、移位、计算等问题

今天在刷题的时候遇到一些二进制数的问题，计算机存储数据用补码存储，但是涉及到计算、移位等问题有点难理解，老是绕不过来，怕后面遇到问题无法融会贯通，所以来总结一下：

首先详细说明一下原码、反码、补码的机制：

至于计算机中以二进制码存储数据这个点应该是很清楚了，二进制码有原码、反码、补码三种形式

原码

是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位，‘1’表示负号，‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

从十进制直接转换为二进制数据 得到的形式就是原码了，比如（以8位数据表示）：

```
十进制数 32
转换为二进制就是 0001 0000

```0001 0000这就是二进制原码了。
最高位为符号位，0表示正，1表示负。

下图给出部份正负数数的二进制原码表示法

接下来看看计算机用原码计算的情况：

1. 0000 0001+0000 0010=0000 0011 1+2=3；没有问题🙂

2. 0000 0000+1000 0000=1000 0000 0+（-0）=（-0）； 好像问题也不大😐

3. 0000 0001+1000 0001=1000 00110 1+（-1）=-2； ？？？🙃很明显，不对

为什么呢：

当然是符号位引起的，所以原码，虽然直观易懂，易于正值转换。但用来实现加减法的话，运算规则总归是太复杂。所以需要反码

反码

反码的获取要分正负：

正数的反码是其本身，与原码相同；

负数的反码就是其原码除符号位外按位取反。

下图给出部分正负数的二进制数反码表示法

用反码再次计算 1+（-1）：

0000 0001反+1111 1110反=1111 1111反=1000 0000原 （1+（-1）= - 0）；so,问题解决。

但是！！！再来看看两个负数相加：

1111 1110反+1111 1101反=0000 0011反=0000 0011原 ？？很明显不对，两个负数相加就成正数了，所以虽然解决了正负相加的问题，但那时两个负数计算还是存在问题。

所以大佬们又想办法了，也就来到了补码。

补码

补码的转换也是要分正负滴：

正数的补码是其本身，与原码相同；

负数的补码等于反码+1。

好，总结一下就是正数三码相同，负数三码均不同，负数已哭晕在厕所😭

再去算上面的就不会有任何问题了，就不在下面罗嗦了，可以自己在草稿本上一写。

在《计算机组成原理中》，补码的另外一种算法是：

负数的补**码等于他的原码自低位向高位，尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变，左边的各位按位取反，符号位不变。**

记住一点：计算机以二进制的补码存储和计算数据。

好，上面这是网上遍地都能看到的基本解释，但是到底为什么要这样设置三种码？单纯为了好算加法？而且有没有发现计算的时候原码、反码、补码来回切得多麻烦？

之前可能直接计算结果，也不管他计算机怎么算的所以就没什么困难感，可是等到做“二进制1的个数计算时”（听起来很简单有没有，做起来也简单但是看到大神的题解时。。嗯自己去看）反正就是正要理解时无法对这三种码熟练的归为己用！！！

没完，下面看到一个博主是这么说的：

总的来说，遍地的解释只是告诉我们怎么样可以计算得到补码，也就是说我们理解的只是一道题的一种解答方法，只求除了答案却不知道考点在哪。

那我们就来聊一聊考点，知道了考点相同类型的题就好说了。

补码的思想

补码的思想类似于生活中的时钟。

先来看时钟。

假设现在是10点，我要把它调到8点有几种方法呢？简单，再往前走10个小时，或者直接后退2个小时。

也就是说：10-2=8；10+10=8；

10-2不用说了，10+10怎么个等于8法？时钟一圈12小时，往前走2个小时就到12点了，这时候再往前走就重新从1开始了，

所以（10+10=10+2+8=12+8=8)，很好理解对吧

至于这个12在时钟运算中被称为模，。

再回顾一下上面，原码、反码、补码的引入是为了方便计算机做加减法，而把减法化为加法的思想就是加上一个相反数。但是引入的符号位无法计算正确。
而我们知道，一个类型数是有存储限制的，也即大小限制，对于有溢出的运算（模运算），减去一个数也就相当于加上这个数的同余数。

既然如此

0110（6）-0010（2）=0110（6）+1110（14)=10100（20=16+4）

OK，我们看到按照这种算法得出的结果是10100，但是对于四位二进制数，最大只能存放4位（硬件决定了），如果我们低四位，正好是0100（4），正好是我们想要的结果，至于最高位的‘1’，计算机会把他放入psw寄存器进位位中。8位机则会放在cy中，x86会放在cf中（这个我们不作讨论）

但是减去2，从另外一个角度来说，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其实得到的二进制结果除了进位位，结果是一样的。

如果我们把1110（14）的最高位看作符号位后就是（-2）的补码，这可能也是为什么负数的符号位是‘1’而不是‘0’。

而且在有符号位的四位二进制数中，能表示的只有‘-8~7’，而无符号位数（14）的作用和有符号数（-2）的作用效果其实是一样的。

那正数的补码呢？加上一个正数，加法器就直接可以实现。所以它的补码就还是它本身。

到这里，我们发现原码，反码的问题，补码基本解决了。在补码中也不存在负零了，因为1000表示-8

然后我们再来看看为什么负数的补码的求法为什么是反码+1

因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111，再加1，就是1000，也就是四位二进数的模

而负数的补码是它的绝对值的同余数，可以通过模减去负数的绝对值，得到他的补码。

所以 负数的补码就是它的反码+1。

（反码+原码=1111=模-1）

（1111+1=模）

（原码+补码=模）

=》补码=反码+1

这是因为根据上面的补码图，做减法时，0001（1）+1111（-1）=0000
我们再也不需要一个1000来表示负0了，就把它规定为-8

负数与负数相加的问题也解决了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)

把原、补码联系上时钟：

看上面那个图。

如果我们把-8当成负数的原点。那么-5的补码是多少呢？

-5=-8+3

-5的补码就是-8的补码加3

1000（-8） +0011（3）=1011(-5)

对于八位加法器的话，可以把-128当补码原点。十六位可以把-32768当补码原点。

是的，128是256（八位二进制数的模）的一半，32768是65536（十六位二进数的模）的一半

而且简单的是

补码原点总是最高位是‘1’，其他位是‘0’

所以做加法总是简单得可以口算。

二进制三码机制了解之后看一些具体的问题

二进制数的移位操作

移位运算符

<<：左移    高位左移后溢出，舍弃，低位补0。

左移相当于乘以2的幂次。

例如：左移一位

左移一位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2^2=4。上面举的例子15<< 2=60，即乘了4。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况

例如，假设以一个字节（8位）存一个整数，若a为无符号整型变量，则a=64，即二进制数01000000时，左移一位时溢出的是0。而左移2位时，溢出的高位中包含1，则不符合上述结论。

由下表可以看出，若a的值为64，在左移一位后相当于乘2，左移2位后，值等于256(100000000 是9位,255是:11111111 8位)。

1. <<1左移一位相当于 64*2 =128没有超出255 ,所以此时 直接右边直接补0即可
2. <<2左移2位就相当于64*2*2 = 256 超出了255的范围，所以此时超出255的就采取左边的二进制丢弃，右边补0

>>：右移  低位溢出的位数被舍弃，正数高位的空位用0补齐，负数高位的空位用1补齐。

例如：右移一位

接下来讲一下其他位运算

https://blog.csdn.net/ghscarecrow/article/details/79915178?

https://blog.csdn.net/afsvsv/article/details/94553228