n个重量和价值分别为w, v的物品。找出总重量不超过W 的物品,求所有挑选方案中价值总和的最大值。
n=4;
(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
W=5;
输出:7 (选0号,1号,3号)
理解:
//n个物品 背包容量W
//int w[max_n],v[max_n]; weight,value;
//暴搜 O(2^n)
int rec(int i,int j){
int res;
if(i==n){
res=0;
}
else if(j<w[i]){
res=rec(i+1,j); //物品重量超重,不选,i++,看下一个
}
else {
res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);
} //不超重情况下,每次选或者不选,全部枚举
return res;
}
void sovle(){
cout<<rec(0,W);
}
//记忆化搜索 O(nW)
int dp[max_n][max_n];
int rec(int i,int j){
if(dp[i][j]>=0){
return dp[i][j];
}
int res;
if(i==n){
res=0;
}
else if(j<w[i]){
res=rec(i+1,j);
}
else{
res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);
}
return dp[i][j]=res;
}
//dp1 O(mn)
//dp[i][j]从0到i,这n+1个物品中选出总重不超过j的物品时货物的最大价值
dp[0][j]=0;
if(j<w[i])
dp[i+1][j]=dp[i][j]; //装不下第i个
else
dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]) ;//装或不装对于价值增加大的
void sovle(){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<=W;j++){
if(j<w[i]){
dp[i+1][j]=dp[i][j];
}
else {
dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
cout<<dp[n][w];
}
//dp2
//从dp1的基础上,状态转移变为:
//前i+1个物品中选取总重不超过j和前i+1个物品中选取总重不超过j+w[i];
void sovle(){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<=W;j++){
dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]);
if(j+w[i]<=W){
dp[i+1][j+w[i]]=max(dp[i+1][j+w[i]],dp[i][j]+v[i]);
}
}
}
cout<<dp[n][W];
}
//dp3
int dp[max_n];
void sovle(){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=W;j>=w[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
cout<<dp[W];
}
最终代码 :
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N=10000;
int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N];
int dp[MAX_N+1];
void solve(){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=W;j>=w[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
printf("%d\n",dp[W]);
}
int main(){
scanf("%d %d",&n,&W);
for(int K=0;K<n;K++)
{
scanf("%d %d",&w[K],&v[K]);
}
solve();
return 0;
}