【宫水三叶の真题精选】一题四解 :「优先队列（堆）」&「全排序」&「数组划分」

优先队列（小根堆）

一个直观的想法是使用「优先队列（小根堆）」，起始将所有元素放入堆中，然后再从堆中取出 $k$ 个元素并「顺序」构造答案。
代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int [] input, int k) {
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a-b);
        for (int i : input) q.add(i);
        ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < k; i++) ans.add(q.poll());
        return ans;
    }
}

时间复杂度：建堆复杂度为 $O(n\log{n})$ ，构造答案复杂度为 $O(k\log{n})$ 。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
空间复杂度： $O(n + k)$

优先队列（大根堆）

在解法一中，我们将所有的原始都放入堆中，堆中元素最多有 $n$ 个，这导致了我们复杂度的上界为 $O(n\log{n})$ 。

而另外一个比较优秀的做法是，使用「优先队列（大根堆）」。

当处理到原始 $arr[i]$ 时，根据堆内元素个数，以及其与堆顶元素的关系分情况讨论：

堆内元素不足 $k$ 个：直接将 $arr[i]$ 放入堆内；
堆内元素为个：根据与堆顶元素的大小关系分情况讨论：
- $arr[i] >= heapTop$ ： $arr[i]$ 不可能属于第 $k$ 小数（已有 $k$ 个元素在堆中），直接丢弃 $arr[i]$ ；
- $arr[i] < heapTop$ ： $arr[i]$ 可能属于第 $k$ 小数，弹出堆顶元素，并放入 $arr[i]$ 。

当 $arr$ 被处理完，我们再使用堆中元素「逆序」构造答案。

代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int [] input, int k) {
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);
        ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<>();
        if (k == 0) return ans;
        for (int i : input) {
            if (q.size() == k && q.peek() <= i) continue;
            if (q.size() == k) q.poll();
            q.add(i);
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) ans.add(q.poll());
        return ans;
    }
}

时间复杂度：建堆复杂度为 $O(n\log{k})$ ，构造答案复杂度为 $O(k\log{k})$ 。整体复杂度为 $O(n\log{k})$
空间复杂度： $O(k)$

全排序

Java 中的 Arrays.sort 为综合排序实现。会根据数据规模、元素本身是否大致有序选择不同的排序实现。

因此一个比较省事的实现是先使用 Arrays.sort 进行排序，再构造答案。

代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int [] input, int k) {
        Arrays.sort(input);
        ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < k; i++) ans.add(input[i]);
        return ans;
    }
}

时间复杂度：排序（假定 Arrays.sort 使用的是双轴快排实现）的复杂度为 $O(n\log{n})$ ；构造答案复杂度为 $O(k)$ 。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
空间复杂度： $O(\log{n} + k)$

快排数组划分

注意到题目要求「任意顺序返回这 $k$ 个数即可」，因此我们只需要确保前 $k$ 小的数都出现在下标为 $[0, k)$ 的位置即可。

利用「快速排序」的数组划分即可做到。

我们知道快排每次都会将小于等于基准值的值放到左边，将大于基准值的值放到右边。

因此我们可以通过判断基准点的下标 $idx$ 与 $k$ 的关系来确定过程是否结束：

$idx < k$ ：基准点左侧不足 $k$ 个，递归处理右边，让基准点下标右移；
$idx > k$ ：基准点左侧超过 $k$ 个，递归处理左边，让基准点下标左移；
$idx = k$ ：基准点左侧恰好 $k$ 个，输出基准点左侧元素。

代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    int k;
    public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int [] input, int _k) {
        k = _k;
        int n = input.length;
        ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<>();
        if (k == 0) return ans;
        qsort(input, 0, n - 1);
        for (int i = 0; i < k; i++) ans.add(input[i]);
        return ans;
    }
    void qsort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l >= r) return ;
        int i = l, j = r;
        int ridx = new Random().nextInt(r - l + 1) + l;
        swap(arr, ridx, l);
        int x = arr[l];
        while (i < j) {
            while (i < j && arr[j] >= x) j--;
            while (i < j && arr[i] <= x) i++;
            swap(arr, i, j);
        }
        swap(arr, i, l);
        // 集中答疑：因为题解是使用「基准点左侧」来进行描述（不包含基准点的意思），所以这里用的 k（写成 k - 1 也可以滴
        if (i > k) qsort(arr, l, i - 1);
        if (i < k) qsort(arr, i + 1, r);
    }
    void swap(int[] arr, int l, int r) {
        int tmp = arr[l];
        arr[l] = arr[r];
        arr[r] = tmp;
    }
}

时间复杂度：由于每次都会随机选择基准值，因此每次递归的数组平均长度为 $n / 2$ ，那么划分数组操作的次数不会超过 $2 * n$ 。整体复杂度为 $O(n)$
空间复杂度： $O(\log{n})$

最后

这是我们「必考真题の精选」系列文章的第 No.119 篇，系列开始于 2021/07/01。

该系列会将牛客网中「题霸 - 面试必考真题」中比较经典而又不过时的题目都讲一遍。

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