题解 | #最长回文子序列#

题意：

• 给定一个字符串，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

方法一：动态规划

解题思路：

• 求解最长回文子序列，有明显的子问题重叠，使用动态规划，考虑以下最优子结构：
  （1）dp[i][j]-----序列s[i]-->s[j]的最长回文子序列的长度。
  （2）dp[i][i]=1
  （3）dp[i][j]=0(j<i)
  （4）dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2 (if s[i]==s[j])
  （5）dp[i][j]=max(dp[i+1,j],dp[i,j-1]) (if s[i]!=s[j])
• (2)显然，（3）是对（4）的边界条件的兼容，（4）易得，（5）由于s[i]!=s[j]，那么s[i]和s[j]最多只有一个能加入到最长回文子序列中，因此从两者中取最大值。

图解如下：

代码如下：

class Solution {
public:
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param s string 一个字符串由小写字母构成，长度小于5000
     * @return int
     */
    int longestPalindromeSubSeq(string s) {
        // write code here
        int n=s.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));
        //i为起始索引，j为结束索引
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            dp[i][i]=1;
            for(int j=i+1;j<n;j++){
                //相同，则加2
                if(s[i]==s[j])
                    dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
                //不同，则从dp[i+1][j] dp[i][j-1]中寻找最大值。
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：，对数组dp的遍历更新，遍历次数为n^2/2,故。
空间复杂度：，二维数组dp。

方法二：

解题思路：

• 方法一中的二维数组dp，我们通过图解和代码发现，每一个只依赖于,,。因此，我们只需要一维数组即可。
• 同时由于依赖于，因此i需要从大往小遍历。

代码如下：

class Solution {
public:
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param s string 一个字符串由小写字母构成，长度小于5000
     * @return int
     */
    int longestPalindromeSubSeq(string s) {
        // write code here
        int n=s.size();
        vector<int> dp(n,1);
        //i为起始索引，j为结束索引
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            int pre=0;
            for(int j=i+1;j<n;j++){
                //临时变量存储dp[j]，需要更新为下一轮遍历的pre
                int tmp=dp[j];
                //相同，则加2
                if(s[i]==s[j])
                    dp[j]=pre+2;
                //不同，则从dp[j] dp[j-1]中寻找最大值。更新到dp[j]
                else
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-1]);
                pre=tmp;
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：，同上。
空间复杂度：，一位数组dp，维度为n。