图论学习笔记1

图的基本概念

图：由**顶点（vertex）和边（edge）**组成。

顶点—具体事物
边—具体事物之间的联系

顶点的集合 $V$V，边的集合 $E$E，图记为 $G=(V,E)$G=(V,E)

图的存储结构

一般分为两种 ： 邻接矩阵、邻接表

邻接矩阵

由一个二维数组实现,比较简单，但是在存储稠密图时比较不划算。
$G\left[i\right]\left[j\right]$G[i][j]表示的是顶点i与顶点j的关系。
如果顶点i和顶点j之间有边相连， $G\left[i\right]\left[j\right]=1$G[i][j]=1
如果顶点i和顶点j之间无边相连， $G\left[i\right]\left[j\right]=0$G[i][j]=0

对于无向图： $G\left[i\right]\left[j\right]=G\left[j\right]\left[i\right]$G[i][j]=G[j][i]
如果边上面有权值，则 $G\left[i\right]\left[j\right]=val$G[i][j]=val

邻接表

通过使用 $vector$vector实现

存点

struct edge {
	int v, w;
	edge(){};//首先申明函数
	edge(int V, int W) {
		v = V;
		w = W;
	}
}; 
vector<edge> G[MAXN];

加边

void addEdge(int u, int v, int w) {//u 起点 v 终点 w 边上的权值
	G[u].push_back(edge(v, w));
	G[v].push_back(edge(u, w));//如果是无向图就加上这一句
}

图的遍历

有深度优先遍历和广度优先遍历两种

深度优先

初始状态是图中所有顶点未曾被访问，可从图中顶点v出发，访问此顶点，然后依次从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

#include <queue>
#include <vector> 
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 205;

int n, m;
bool v[MAXN];

vector<int> G[MAXN];

void addEdge(int u, int v) {
	G[u].push_back(v);
}

void dfs(int x) {
	printf("%d ", x);
	v[x] = 1;
	sort(G[x].begin(), G[x].end());
	for(int i = 0;i < G[x].size(); i++) {
		if(! v[G[x][i]]) {
			v[G[x][i]] = 1;
			dfs(G[x][i]);
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1;i <= m; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		addEdge(u, v);
	}
	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		if(! v[i]) dfs(i);
	}
	return 0;
}

广度优先

假设从图中某顶点v出发，在访问v之后依次访问v的各个未被访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起始点，由近至远，依次访问和v有路径相通且路径长度为1，2，…的顶点。

#include <queue>
#include <vector> 
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 205;

int n, m;
bool v[MAXN];

vector<int> G[MAXN];

void addEdge(int u, int v) {
	G[u].push_back(v);
}

void bfs(int k) {
	queue<int> q;
	q.push(k);
	v[k] = 1;
	printf("%d ", k);
	while(q.size()) {
		int a = q.front();
		q.pop();
		sort(G[a].begin(), G[a].end());
		for(int i = 0;i < G[a].size(); i++) {
			if(! v[G[a][i]]) {
				v[G[a][i]] = 1;
				printf("%d ", G[a][i]);
				q.push(G[a][i]);
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1;i <= m; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		addEdge(u, v);
	}
	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		if(! v[i]) bfs(i);
	}
	return 0;
}