线性代数之——正交向量与子空间

1. 正交子空间

两个向量垂直，意味着 $v^{T}w=0$vTw=0。

两个子空间 $V$V 和 $W$W 是正交的，如果 $V$V 中的每个向量 $v$v 都垂直于 $W$W 中的每个向量 $w$w。

想象你处在一个房间里，那么地面是一个子空间 $V$V，两面墙的交线是另一个子空间 $W$W，这两个子空间是正交的。

两面看起来垂直的墙不是正交的，因为它们相交于一条直线，这条直线同时存在于两个子空间，它不可能自己垂直于自己。

两个 $R^3$R3 空间中的二维平面不可能正交，当两个子空间的维数之和大于整个空间的维数时，这两个子空间肯定不是正交的。

如果一个向量同时位于两个正交的子空间内，那这个向量一定是零向量，只有零向量自己垂直于自己。

零向量是零空间和行空间的唯一交点，并且零空间和行空间是 $R^n$Rn 中正交的两个子空间。

由 $Ax=0$Ax=0 可得，行空间中的每个向量和零空间中的每个向量都是垂直的，因此它们是正交的子空间。

另一方面， $A^{T}y$ATy 是对 $A$A 的行的线性组合，那么有

$x^T\left(A^{T}y\right)=\left(x^T{A}^T\right)y=(Ax{)}^{T}y=0$xT(ATy)=(xTAT)y=(Ax)Ty=0

即，所有 $A$A 的行的线性组合都垂直于 $x$x。

左零空间和列空间是 $R^m$Rm 中正交的两个子空间。

2. 正交补

基本空间不仅仅是正交的，它们的维数也刚刚好。行空间的维数为 $r$r，零空间的维数为 $n-r$n−r，和为 $n$n。列空间的维数为 $r$r，左零空间的维数为 $m-r$m−r，和为 $m$m。

$R^3$R3 空间中的两条直线也可以是垂直的，但它们不可能是一个 3×3 矩阵的行空间和零空间。

一个子空间 $V$V 的正交补（orthogonal complement）包含所有垂直于 $V$V 的向量 ，称为 $V^{\perp }$V⊥。

由这个定义，那么零空间 $N\left(A\right)$N(A) 是 $R^n$Rn 中行空间 $C\left(A^T\right)$C(AT) 的正交补，左零空间 $N\left(A^T\right)$N(AT) 是 $R^m$Rm 中列空间 $C\left(A\right)$C(A) 的正交补。

补的意思是说每个向量 $x$x，都可以表示为行空间分量 $x_r$xr​ 和零空间分量 $x_n$xn​ 的和，那么有：

$A{x}_n=0$Axn​=0
$A{x}_r=Ax$Axr​=Ax

所有的向量都去到了列空间，乘以 $A$A 后没有做其它的事情。

而且，任何列空间中的向量 $b$b 都来自于行空间中的唯一一个向量。如果有 $A{x}_r=A{x}_r^{\prime }$Axr​=Axr′​，那么 $x_r-x_r^{\prime }$xr​−xr′​ 就位于零空间中，而且它也位于行空间中，所以它一定为零向量，也就是 $x_r=x_r^{\prime }$xr​=xr′​。

3. 基和子空间

任何 $R^n$Rn 空间中的 $n$n 个不相关向量一定扩充出 $R^n$Rn 空间，因此它们是一个基。

任何扩充出 $R^n$Rn 空间的 $n$n 个向量一定是不相关的，因此它们是一个基。

如果 $A$A 中的 $n$n 列是不相关的，则它们扩充出 $R^n$Rn 空间，因此 $Ax=b$Ax=b 是可解的。

如果 $n$n 列扩充出 $R^n$Rn 空间，则它们是不相关的，因此 $Ax=b$Ax=b 有唯一解。

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