周期信号的傅里叶级数表示

1. 线性时不变系统对复指数信号的响应

在研究 $LTI$LTI（Linear and Time-invariant System）系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，但这些基本信号应该具有以下两个性质：

• 由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
• $LTI$LTI 系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表示式。

傅里叶分析的很多重要价值都来自于这一点，即连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 $e^{st}$est 和离散时间的 $z^n$zn，其中 $s$s 和 $z$z 都是复数。

在研究 $LTI$LTI 系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即一个 $LTI$LTI 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化，也就是说：

$连续时间：e^{st}\to H\left(s\right)e^{st}$连续时间：est→H(s)est
$离散时间：z^n\to H\left(z\right)z^n$离散时间：zn→H(z)zn
这里 $H\left(s\right)$H(s) 或 $H\left(z\right)$H(z) 是一个复振幅因子，一般来说是复变量 $s$s 或 $z$z 的函数。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。

现考虑一个单位冲激响应为 $h\left(t\right)$h(t) 的连续时间 $LTI$LTI 系统，对任意输入 $x\left(t\right)$x(t)，可由卷积积分来确定输出，若令 $x\left(t\right)=e^{st}$x(t)=est，则有

$\begin{array}{}\text{(1)}& y\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left(\tau \right)x(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left(\tau \right)e^{s(t-\tau )}d\tau =e^{st}{\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left(\tau \right)e^{-s\tau }d\tau \end{array}$y(t)=∫−∞+∞​h(τ)x(t−τ)dτ=∫−∞+∞​h(τ)es(t−τ)dτ=est∫−∞+∞​h(τ)e−sτdτ(1)

假设 （1）式右边的积分收敛，于是系统对 $x\left(t\right)$x(t) 的响应就为
$\begin{array}{}\text{(2)}& y\left(t\right)=H\left(s\right)e^{st}\end{array}$y(t)=H(s)est(2)
式中 $H\left(s\right)$H(s) 是一个复常数，其值决定于 $s$s，并且它与系统单位冲激响应的关系为
$\begin{array}{}\text{(3)}& H\left(s\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h\left(\tau \right)e^{-s\tau }d\tau \end{array}$H(s)=∫−∞+∞​h(τ)e−sτdτ(3)

可以完全用并行的方式证明，复指数序列也是离散时间 $LTI$LTI 系统的特征函数。这就是说单位脉冲响应为 $h\left[n\right]$h[n] 的 $LTI$LTI 系统，其输入序列为
$\begin{array}{}\text{(4)}& x\left[n\right]=z^n\end{array}$x[n]=zn(4)
式中 $z$z 为某一复数，由卷积和可以确定系统的输出为
$\begin{array}{}\text{(5)}& y\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h\left[k\right]x[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h\left[k\right]z^{n-k}=z^n\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h\left[k\right]z^{-k}\end{array}$y[n]=k=−∞∑+∞​h[k]x[n−k]=k=−∞∑+∞​h[k]zn−k=znk=−∞∑+∞​h[k]z−k(5)
假设 （5）式右边的求和收敛，于是系统对 $x\left[n\right]$x[n] 的响应就为
$\begin{array}{}\text{(6)}& y\left[n\right]=H\left(z\right)z^n\end{array}$y[n]=H(z)zn(6)
式中 $H\left(z\right)$H(z) 是一个复常数，为
$\begin{array}{}\text{(7)}& H\left[z\right]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h\left[k\right]z^{-k}\end{array}$H[z]=k=−∞∑+∞​h[k]z−k(7)

针对更一般的情况，若一个连续时间 $LTI$LTI 系统的输入表示成复指数的线性组合，即
$\begin{array}{}\text{(8)}& x\left(t\right)=\sum _k{a}_k{e}^{s_{k}t}\end{array}$x(t)=k∑​ak​esk​t(8)
那么输出就一定是
$\begin{array}{}\text{(9)}& y\left(t\right)=\sum _k{a}_{k}H\left(s_k\right)e^{s_{k}t}\end{array}$y(t)=k∑​ak​H(sk​)esk​t(9)

对于离散情况，完全类似，若一个离散时间 $LTI$LTI 系统的输入表示成复指数的线性组合，即
$\begin{array}{}\text{(10)}& x\left[n\right]=\sum _k{a}_k{z}_k^n\end{array}$x[n]=k∑​ak​zkn​(10)
那么输出就一定是
$\begin{array}{}\text{(11)}& y\left[n\right]=\sum _k{a}_{k}H\left(z_k\right)z_k^n\end{array}$y[n]=k∑​ak​H(zk​)zkn​(11)

2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

2.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号
$\begin{array}{}\text{(12)}& x\left(t\right)=e^{j{\omega }_{0}t}\end{array}$x(t)=ejω0​t(12)
的基波频率为 ${\omega }_0$ω0​，基波周期 $T=2\pi /{\omega }_0$T=2π/ω0​。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是
$\begin{array}{}\text{(13)}& {\varphi }_k\left(t\right)=e^{jk{\omega }_{0}t}=e^{jk\left(2\pi /T\right)t},k=0,\pm 1,\pm 2,\cdot \cdot \cdot \end{array}$ϕk​(t)=ejkω0​t=ejk(2π/T)t,k=0,±1,±2,⋅⋅⋅(13)

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是 ${\omega }_0$ω0​ 的倍数。因此每个信号对周期 $T$T 来说都是周期的。于是，一个由成谐波关系的复指数信号线性组合形成的信号
$\begin{array}{}\text{(14)}& x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /T\right)t}\end{array}$x(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkω0​t=k=−∞∑∞​ak​ejk(2π/T)t(14)
对周期 $T$T 来说也是周期的。 在式（14）中， $k=0$k=0 这一项是个常数， $k=+1$k=+1 和 $k=-1$k=−1这两项都有基波频率等于 ${\omega }_0$ω0​，两者合在一起称之为基波分量或称一次谐波分量。 $k=+2$k=+2 和 $k=-2$k=−2 这两项也是周期的，其频率是基波频率的两倍，称为二次谐波分量。一般来说， $k=+N$k=+N 和 $k=-N$k=−N 的分量称为第 $N$N 次谐波分量。

一个周期信号表示成式（14）的形式，就称为傅里叶级数表示。

2.2. 连续时间周期傅里叶级数表示的确定

假设一个给定的周期信号能表示成式（14）的形式，这就需要一种办法来确定这些系数 $a_k$ak​，将式（14）两边各乘以 $e^{-jn{\omega }_{0}t}$e−jnω0​t，可得
$\begin{array}{}\text{(15)}& x\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}\end{array}$x(t)e−jnω0​t=k=−∞∑∞​ak​ejkω0​te−jnω0​t(15)
将上式两边从 0 到 $T=2\pi /{\omega }_0$T=2π/ω0​对 $t$t 积分，有
$\begin{array}{}\text{(16)}& {\int }_0^{T}x\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt={\int }_0^T\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}dt\end{array}$∫0T​x(t)e−jnω0​tdt=∫0T​k=−∞∑∞​ak​ejkω0​te−jnω0​tdt(16)

这里 $T$T 是 $x\left(t\right)$x(t) 的基波周期，以上就是在该周期内积分。将上式右边的积分和求和次序交换后得
$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_0^{T}x\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt\end{array}$∫0T​x(t)e−jnω0​tdt=k=−∞∑∞​ak​∫0T​ej(k−n)ω0​tdt(17)
式（17）右边括号里的积分是很容易的，为此利用欧拉公式可得

$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt={\int }_0^{T}cos(k-n){\omega }_{0}tdt+j{\int }_0^{T}sin(k-n){\omega }_{0}tdt\end{array}$∫0T​ej(k−n)ω0​tdt=∫0T​cos(k−n)ω0​tdt+j∫0T​sin(k−n)ω0​tdt(18)

对于 $k̸=n$k̸​=n， $cos(k-n){\omega }_{0}t$cos(k−n)ω0​t 和 $sin(k-n){\omega }_{0}t$sin(k−n)ω0​t都是周期函数，其基波周期为 $(T/\mid k-n\mid )$(T/∣k−n∣)。现在做的积分是在 $T$T 区间内进行，而 $T$T 又一定是它们的基波周期 $(T/\mid k-n\mid )$(T/∣k−n∣) 的整数倍。由于积分可以看做是被积函数在积分区间内所包括的面积，所以式（18） 右边的两个积分对于 $k̸=n$k̸​=n 来说，其值为 0；而对 $k=n$k=n，式左边的被积函数是 1，所以其积分值为 $T$T 。综合上述得到
$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt=\{\begin{array}{cc}T,& \text{k}=n\\ 0,& \text{k}̸=n\end{array}\end{array}$∫0T​ej(k−n)ω0​tdt={T,0,​k=nk̸​=n​(19)
这样式（17）的右边就变成了 $T{a}_n$Tan​，因此有

$\begin{array}{}\text{(20)}& a_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt\end{array}$an​=T1​∫0T​x(t)e−jnω0​tdt(20)

另外，在求式（18）时我们仅仅用到了积分是在一个 $T$T 的时间间隔内进行，而该 $T$T 又是 $cos(k-n){\omega }_{0}t$cos(k−n)ω0​t 和 $sin(k-n){\omega }_{0}t$sin(k−n)ω0​t 周期的整数倍。因此，**如果是在任意 $T$T 的间隔做积分，结果应该是相同的。**也就是说，若以 ${\int }_T$∫T​ 表示在任意一个 $T$T 间隔内的积分，则应该有

$\begin{array}{}\text{(21)}& {\int }_T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt=\{\begin{array}{cc}T,& \text{k}=n\\ 0,& \text{k}̸=n\end{array}\end{array}$∫T​ej(k−n)ω0​tdt={T,0,​k=nk̸​=n​(21)
因此
$\begin{array}{}\text{(22)}& a_n=\frac{1}{T}{\int }_{T}x\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt\end{array}$an​=T1​∫T​x(t)e−jnω0​tdt(22)

上述过程可归结下：如果 $x\left(t\right)$x(t) 能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合，那么傅里叶级数中系数就由式（22）所确定，这一对关系就定义为一个周期连续信号的傅里叶计数。
$\boxed{{\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /T\right)t}}}$x(t)=k=−∞∑∞​ak​ejkω0​t=k=−∞∑∞​ak​ejk(2π/T)t​
$\boxed{{\displaystyle a_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x\left(t\right)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{T}x\left(t\right)e^{-jk\left(2\pi /T\right)t}dt}}$ak​=T1​∫T​x(t)e−jkω0​tdt=T1​∫T​x(t)e−jk(2π/T)tdt​
第一个式子称为综合公式，第二个式子称为分析公式。系数 $a_k$ak​ 往往称为 $x\left(t\right)$x(t) 的傅里叶级数系数或频谱系数。

• 例 1
  
  
• 例 2
  
  
  

2.3. 傅里叶级数的收敛

对于任何周期信号，我们总是能利用式（22）求得一组傅里叶系数。然而，在某些情况下式（22）的积分可能不收敛，也就是说求得的某些系数可能是无穷大。再者，即使求得的全部系数都是有限值，当把这些系数代入式（14）时所得到的无限项级数也可能不收敛于原信号。

狄里赫利条件：

1. 在任何周期内， $x\left(t\right)$x(t) 必须绝对可积，即
   $\begin{array}{}\text{(23)}& {\int }_T\mid x\left(t\right)\mid dt\&lt;\infty \end{array}$∫T​∣x(t)∣dt<∞(23)
   这一条件保证了每一系数 $a_k$ak​ 都是有限值，因为
   $\begin{array}{}\text{(24)}& \mid a_k\mid ⩽\frac{1}{T}{\int }_T\mid x\left(t\right)e^{jk{\omega }_{0}t}\mid dt=\frac{1}{T}{\int }_T\mid x\left(t\right)\mid dt\end{array}$∣ak​∣⩽T1​∫T​∣x(t)ejkω0​t∣dt=T1​∫T​∣x(t)∣dt(24)
   不满足狄里赫利第一条件的周期信号可以举例如下：
   $\begin{array}{}\text{(25)}& x\left(t\right)=\frac{1}{t},0\&lt;t⩽1\end{array}$x(t)=t1​,0<t⩽1(25)
   

2. 在任意有限区间内， $x\left(t\right)$x(t) 具有有限个起伏变化，也就是说，在任何单个周期内， $x\left(t\right)$x(t) 的最大值和最小值的数目有限。

满足条件 1 而不满足条件 2 的一个函数是
$\begin{array}{}\text{(26)}& x\left(t\right)=sin\left(\frac{2\pi }{t}\right),0\&lt;t⩽1\end{array}$x(t)=sin(t2π​),0<t⩽1(26)

3. 在 $x\left(t\right)$x(t) 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数都是有限值。

不满足条件 3 的一个例子如下所示，这个信号的周期为 $T=8$T=8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度都是前一个阶梯的一半。

2.4. 傅里叶级数的性质

3. 离散时间周期信号的傅里叶级数表示

3.1. 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期复指数信号
$\begin{array}{}\text{(27)}& x\left[n\right]=e^{j\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$x[n]=ej(2π/N)n(27)
基波频率为 ${\omega }_0=2\pi /N$ω0​=2π/N，基波周期为 $N$N。与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是
$\begin{array}{}\text{(28)}& {\varphi }_k\left[n\right]=e^{jk{\omega }_{0}n}=e^{jk\left(2\pi /N\right)n},k=0,\pm 1,\pm 2,\cdot \cdot \cdot \end{array}$ϕk​[n]=ejkω0​n=ejk(2π/N)n,k=0,±1,±2,⋅⋅⋅(28)

这些信号中的每一个都有一个基波频率，它是 $2\pi /N$2π/N 的倍数。由式（28）给出的信号集中只有 $N$N 个信号是不相同的，这是由于离散时间复指数信号在频率上相差 $2\pi /N$2π/N 的整数倍都是一样的缘故。因此有
$\begin{array}{}\text{(29)}& {\varphi }_k\left[n\right]={\varphi }_{k+rN}\left[n\right]\end{array}$ϕk​[n]=ϕk+rN​[n](29)
这就是说，当 $k$k 变化一个的 $N$N 整数倍时，就得到一个完全一样的序列。现在我们希望利用序列 ${\varphi }_k\left[n\right]$ϕk​[n] 的线性组合来表示更一般的周期序列，这样一个线性组合就有如下形式
$\begin{array}{}\text{(30)}& x\left[n\right]=\sum _k{a}_k{\varphi }_k\left[n\right]=\sum _k{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}=\sum _k{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$x[n]=k∑​ak​ϕk​[n]=k∑​ak​ejkω0​n=k∑​ak​ejk(2π/N)n(30)
因为序列 ${\varphi }_k\left[n\right]$ϕk​[n] 只有在 $k$k 的 $N$N 个相继值的区间是不同的，因此，式（30）的求和仅仅需要包括 $N$N 项。为了指出这一点，特将求和限表示成 $k=\&lt;N\&gt;$k=<N>，即
$\begin{array}{}\text{(31)}& x\left[n\right]=\sum _{k=\&lt;N\&gt;}{a}_k{\varphi }_k\left[n\right]=\sum _{k=\&lt;N\&gt;}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}=\sum _{k=\&lt;N\&gt;}{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /N\right)n}\end{array}$x[n]=k=<N>∑​ak​ϕk​[n]=k=<N>∑​ak​ejkω0​n=k=<N>∑​ak​ejk(2π/N)n(31)
譬如说， $k$k 即可以取 $k=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,N-1$k=0,1,2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,N−1，也可以取 $k=3,4,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,N+2$k=3,4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,N+2，不管怎样取，式（31）右边的求和都是一样的。式（31）称为离散时间傅里叶级数，而系数 则称为傅里叶级数系数。

3.2. 离散时间周期傅里叶级数表示的确定

离散时间傅里叶级数对就为
$\boxed{{\displaystyle x\left[n\right]=\sum _{k=\&lt;N\&gt;}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}n}=\sum _{k=\&lt;N\&gt;}{a}_k{e}^{jk\left(2\pi /N\right)n}}}$x[n]=k=<N>∑​ak​ejkω0​n=k=<N>∑​ak​ejk(2π/N)n​
$\boxed{{\displaystyle a_k=\frac{1}{N}\sum _{k=\&lt;N\&gt;}x\left[n\right]e^{-jk{\omega }_{0}n}=\frac{1}{N}\sum _{k=\&lt;N\&gt;}x\left[n\right]e^{-jk\left(2\pi /N\right)n}}}$ak​=N1​k=<N>∑​x[n]e−jkω0​n=N1​k=<N>∑​x[n]e−jk(2π/N)n​
和连续时间周期信号一样，第一个式子称为综合公式，第二个式子称为分析公式。系数 $a_k$ak​ 往往称为 $x\left[n\right]$x[n] 的频谱系数。

再回到式（31），我们看到若从 0 到 $N-1$N−1 范围内取 $k$k，则有
$\begin{array}{}\text{(32)}& x\left[n\right]=a_0{\varphi }_0\left[n\right]+a_1{\varphi }_1\left[n\right]+\cdot \cdot \cdot +a_{N-1}{\varphi }_{N-1}\left[n\right]\end{array}$x[n]=a0​ϕ0​[n]+a1​ϕ1​[n]+⋅⋅⋅+aN−1​ϕN−1​[n](32)
相类似地，若从 1 到 $N$N 范围内取 $k$k，则有
$\begin{array}{}\text{(33)}& x\left[n\right]=a_1{\varphi }_1\left[n\right]+a_2{\varphi }_2\left[n\right]+\cdot \cdot \cdot +a_N{\varphi }_N\left[n\right]\end{array}$x[n]=a1​ϕ1​[n]+a2​ϕ2​[n]+⋅⋅⋅+aN​ϕN​[n](33)
因为 $ \phi_0[n] = \phi_N[n]$，将式（32）和式（33）作一比较，就可以得出 $a_0=a_N$a0​=aN​。类似地，若 $k$k 取任何一组 $N$N 个相连的整数，就一定有
$\begin{array}{}\text{(34)}& a_k=a_{k+N}\end{array}$ak​=ak+N​(34)
这就是说，倘若我们考虑的 $k$k 值多余 $N$N 的话，那么 $a_k$ak​ 的值必定以 $N$N 为周期，周期性重复。