解题思路

既然题目有Special Judge（特殊评测），而且只需要输出一个有效的解决方案，我们就可以用一种比较"聪明"的随机策略：

  1. 随机但不是完全随机 - 在每一步中，我们会评估哪个空位置放数字2更有利
  2. 给棋盘打分 - 设计一个评估函数来判断当前棋盘状态好不好
  3. 模拟未来 - 对每个可能的滑动方向，进行多次随机模拟，看看哪个方向长期效果更好
  4. 多试几次 - 一次不行就再来，总能找到解决方案

这种思路就像下棋时，我们会考虑"如果走这一步，接下来几步会怎么样"，然后选择最有利的走法。

算法实现

1. 棋盘表示与基本操作

我们用一个4×4的二维数组来表示棋盘，然后实现四个方向的滑动操作。以向左滑动为例：

def move_left(self):
    moved = False
    new_board = [[0 for _ in range(self.size)] for _ in range(self.size)]
    
    for i in range(self.size):
        row = self.board[i]
        non_zero = [cell for cell in row if cell != 0]
        merged_row = []
        j = 0
        while j < len(non_zero):
            if j + 1 < len(non_zero) and non_zero[j] == non_zero[j+1]:
                merged_row.append(non_zero[j] * 2)
                j += 2
            else:
                merged_row.append(non_zero[j])
                j += 1
        
        for j in range(len(merged_row)):
            new_board[i][j] = merged_row[j]
        
        if new_board[i] != self.board[i]:
            moved = True
    
    if moved:
        self.board = new_board
        self.moves.append('L')
        self.step_count += 1
    return moved

这段代码的逻辑其实很简单：先把每一行的非零数字提取出来，然后合并相同的相邻数字，最后再放回棋盘。其他三个方向的滑动也是类似的思路，只是处理行列的方式不同。

2. 怎么给棋盘打分？

接下来是最关键的部分 - 我们需要一个方法来判断当前棋盘状态的好坏。这个评估函数就像一个"裁判"，告诉我们现在的局面有多好：

def evaluate_board(self):
    score = 0
    empty_cells = len(self.get_empty_cells())
    score += empty_cells * 10  # 空格越多越好
    
    max_tile = 0
    for i in range(self.size):
        for j in range(self.size):
            if self.board[i][j] != 0:
                score += self.board[i][j] * 2
                max_tile = max(max_tile, self.board[i][j])
                
                # 相邻相同格子加分
                if i > 0 and self.board[i-1][j] == self.board[i][j]:
                    score += self.board[i][j]
                if i < self.size-1 and self.board[i+1][j] == self.board[i][j]:
                    score += self.board[i][j]
                if j > 0 and self.board[i][j-1] == self.board[i][j]:
                    score += self.board[i][j]
                if j < self.size-1 and self.board[i][j+1] == self.board[i][j]:
                    score += self.board[i][j]
    
    score += max_tile * 5  # 最大格子值越大越好
    
    # 大数字额外加分
    if max_tile >= 512:
        score += 1000
    if max_tile >= 256:
        score += 500
    if max_tile >= 128:
        score += 200
    
    return score

这个评估函数考虑了几个因素：

  • 空格越多越好（给我们更多操作空间）
  • 相同数字相邻会加分（方便合并）
  • 最大数字越大越好（离目标更近）
  • 特别大的数字（如512、256）会有额外奖励

3. "预见未来" - 蒙特卡洛模拟

现在到了最有趣的部分！我们要模拟一下"如果走这一步，接下来几步会怎么样"：

def simulate_random_play(self, depth=5):
    test_game = Game1024(self.size)
    test_game.board = copy.deepcopy(self.board)
    test_game.placements = copy.deepcopy(self.placements)
    test_game.moves = copy.deepcopy(self.moves)
    test_game.step_count = self.step_count
    
    for _ in range(depth):
        if test_game.is_game_over() or test_game.check_win():
            break
        
        empty_cells = test_game.get_empty_cells()
        if not empty_cells:
            break
            
        row, col = random.choice(empty_cells)
        test_game.place_number(row, col)
        
        direction = random.choice(['L', 'R', 'U', 'D'])
        if direction == 'L':
            test_game.move_left()
        elif direction == 'R':
            test_game.move_right()
        elif direction == 'U':
            test_game.move_up()
        elif direction == 'D':
            test_game.move_down()
    
    return test_game.evaluate_board()

这段代码创建了一个"虚拟游戏"，模拟接下来几步的随机操作，然后评估最终棋盘状态。

4. 选择最佳移动方向

有了模拟功能，我们就可以测试每个可能的移动方向，看看哪个长期效果最好：

def get_best_move(self, simulations=10):
    best_score = -1
    best_move = 'L'
    
    moves = ['L', 'R', 'U', 'D']
    random.shuffle(moves)
    
    for move in moves:
        test_board = copy.deepcopy(self.board)
        test_game = Game1024(self.size)
        test_game.board = test_board
        test_game.placements = copy.deepcopy(self.placements)
        test_game.moves = copy.deepcopy(self.moves)
        test_game.step_count = self.step_count
        
        if move == 'L':
            test_game.move_left()
        elif move == 'R':
            test_game.move_right()
        elif move == 'U':
            test_game.move_up()
        elif move == 'D':
            test_game.move_down()
        
        if test_game.board == self.board:
            continue  # 无变化的移动跳过
            
        total_score = 0
        for _ in range(simulations):
            total_score += test_game.simulate_random_play()
        
        avg_score = total_score / simulations
        if avg_score > best_score:
            best_score = avg_score
            best_move = move
    
    return best_move

这个函数对每个可能的移动方向进行多次模拟，计算平均得分，然后选择得分最高的方向。就像我们会尝试不同的走法，看看哪种更有可能赢。

5. 自动玩游戏

现在把所有组件组合起来，实现自动玩游戏：

def auto_play(self):
    while not self.won and self.step_count < self.max_steps and not self.is_game_over():
        empty_cells = self.get_empty_cells()
        if not empty_cells:
            break
        
        # 选择最佳放置位置
        best_pos = self.get_best_placement()
        if best_pos:
            row, col = best_pos
            self.place_number(row, col)
        else:
            row, col = random.choice(empty_cells)
            self.place_number(row, col)
        
        # 选择最佳移动方向
        best_move = self.get_best_move()
        if best_move == 'L':
            self.move_left()
        elif best_move == 'R':
            self.move_right()
        elif best_move == 'U':
            self.move_up()
        elif best_move == 'D':
            self.move_down()
        
        self.won = self.check_win()
    
    return self.won

这个函数就是我们的"AI玩家"，它会不断重复"选择位置放数字 → 选择方向滑动"这个过程，直到达到目标或者游戏结束。

6. 多次尝试

因为我们的算法有随机性，不一定一次就能成功，所以我们设计了多次尝试的机制：

def try_multiple_attempts(attempts=10):
    for attempt in range(attempts):
        game = Game1024()
        if game.auto_play():
            game.print_solution()
            return True
    return False

就像玩游戏时，一次没成功就再来一次，总能找到通关的方法！

算法复杂度分析

让我们来看看这个算法的"效率"如何：

  1. 移动操作：O(n²)，其中n=4为棋盘大小

    • 因为棋盘是4×4的，所以实际操作很快

  2. 评估函数：O(n²)

    • 需要遍历整个棋盘计算分数

  3. 蒙特卡洛模拟：O(depth × n²)，depth为模拟深度

    • 我们设置的深度是5，所以计算量也不大

  4. 最佳移动选择：O(4 × simulations × depth × n²)

    • 对四个方向分别进行多次模拟

  5. 整体游戏：O(steps × 4 × simulations × depth × n²)

    • steps是游戏总步数，通常在几百步内

好消息是，由于棋盘大小固定为4×4，实际运行时间在可接受范围内，不会等太久。

输出

程序成功运行后，把txt里的内容全部print

总结

这个1024×2小游戏其实是个很有趣的算法问题！我们采用了一种"聪明"的随机策略，通过蒙特卡洛模拟来评估不同移动方向的长期效果，然后选择最优的移动方向。

虽然这种方法不能保证100%成功，但通过多次尝试，我们总能找到有效的解决方案。这种思路其实在很多游戏AI中都有应用，比如AlphaGo也使用了类似的蒙特卡洛树搜索算法。

最关键的是，这种方法简单有效，不需要复杂的数学知识，却能解决看似困难的游戏问题。这正是算法的魅力所在！