【图论】用一道题从本质上讲清楚Floyd算法

P1119 【灾后重建】

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一道非常好的Floyd最短路练习题，从算法本质上出的题目，对于初学Floyd算法的人来说是绝佳的练习题

首先我们从Floyd算法谈起，这是一个看上去很简单的算法-事实上也的确很简单，整个算法一共只有五行，三重循环＋一个判断就能求出图中任意两点之间的最短路径。
很多人都是直接把这个算法背了下来，然后要求最短路时直接默写，没有考虑到这个算法的本质意义，而这个题目，正好考了这个算法的本质，如果只会背的话，遇见这题直接就GG。
这个算法的主要思路，就是通过其他的点进行中转来求的两点之间的最短路。因为我们知道，两点之间有多条路，如果换一条路可以缩短距离的话，就更新最短距离。而它最本质的思想，就是用其他的点进行中转，从而达到求出最短路的目的。

那么，如何进行中转呢？两点之间可以由一个点作为中转点更新最短路径，也可以通过多个点更新最短路径。
结合代码：

for(k=1;k<=n;k++)

    for(i=1;i<=n;i++)

        for(j=1;j<=n;j++)

            if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])

                 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
                 
//核心代码，仅仅只有5行

这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
（仔细理解这段话，它揭露了这个算法的本质并为本题提供了很好的方法）
到这里我们已经知道，Floyd算法就是一个利用其它点进行中转来求最短路的步骤。
而我们再回头看题意：
所有的边全部给出，按照时间顺序更新每一个可用的点（即修建好村庄），对于每个时间点进行两点之间询问，求对于目前建设的所有村庄来说任意两点之间的最短路
不正好就是 $F l o y d$ 算法中使用前k个节点更新最短路的思维吗？

于是到了这里，我们差不多也就知道这题如何写了。
出题人还是很良心的，保证所有的数据都是用时间顺序给出的，所以我们只用读取+操作就可以了，不用再储存＋排序。
先给出总体思路：

int main(){
    读入，存下每个村庄修复的时间
    读入所有的边并使用邻接矩阵存图
    初始化
    对于每次询问，将在当前时间前的所有点全部用Floyd更新。
    特殊判断并输出
}

具体实现：（仍然按我写题解的风格分开给出）
首先是初始化部分，相信大家都会写
（特别注意一下这里的点编号是从0开始的，如果像我一样习惯从1开始的标下标的话要特别注意这一点）
不过这点写错了样例都过不了还是能很快改过来的吧

//a数组存各个村庄的建立时间
//f数组用于存两点之间的最短路径

cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",a+i);//依次输入每一个村庄建立完成时需要的时间
 /*******************初始化*************************/
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    f[i][j]=1e9;//初始化为一个很大的值
    for(int i=0;i<n;i++)
    f[i][i]=0;//一个点到自己的距离为0
 /*******************读入边长*************************/
    int s1,s2,s3;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&s1,&s2,&s3);
        f[s1][s2]=f[s2][s1]=s3;//无向边，存两次
    }

然后是处理各询问：

//s1,s2,s3为临时变量，表示两村庄和时间
int q;cin>>q;//一共q个询问
int now=0;//用于记录当前时间对应的编号，从第一个村庄开始
for(int i=1;i<=q;i++){//处理各询问 
    scanf("%d%d%d",&s1,&s2,&s3);
    while(a[now]<=s3&&now<n){//如果目前更新的点的时间在询问点之前
        updata(now);
        now++;
    }//处理在它之前建立的村庄
    if(a[s1]>s3||a[s2]>s3)cout<<-1<<endl;//村庄未建好
    else {
        if(f[s1][s2]==1e9)cout<<-1<<endl;//两点不连通
        else cout<<f[s1][s2]<<endl;//输出路径长
    }
}

(本题核心) $u p d a t a$ 函数：

inline void updata(int k){
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    if(f[i][j]>f[i][k]+f[j][k])
    f[i][j]=f[j][i]=f[i][k]+f[j][k];//用这个新的更新所有前面的 
    return;
}

标准的 $F l o y d$ 思想，内层循环不变，外层循环按照 $k$ 的顺序给出

  return 0
    //没错，完了，没了，就两个步骤加一个函数.

希望各位能通过这个题目更深一层地了解 $F l o y d$ 算法，这真的是一个很优秀的题目。同时它也提醒我们，学习算法时要弄懂各个细节，把整个算法的思想掌握，而不是仅仅把代码背下来.

参考资料：GumpYan在博客中对Floyd算法的讲解

(这篇文章对 $F l o y d$ 算法进行了图文并茂的很详细的讲解，如果想更详细地了解此算法可以去看看）

最后放上完整的AC代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 205
using namespace std;
int n,m;
int a[N];
int f[N][N];//邻接矩阵存边
inline void updata(int k){
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    if(f[i][j]>f[i][k]+f[j][k])
    f[i][j]=f[j][i]=f[i][k]+f[j][k];//用这个新的更新所有前面的 
    return;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",a+i);//依次输入每一个村庄建立完成时需要的时间
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++){
        f[i][j]=1e9;//初始化为保证它不爆炸范围内的最大值 
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    f[i][i]=0;
    int s1,s2,s3;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&s1,&s2,&s3);
        f[s1][s2]=f[s2][s1]=s3;//初始化边长 
    }
    int q;
    cin>>q;
    int now=0;
    for(int i=1;i<=q;i++){//处理各询问 
        scanf("%d%d%d",&s1,&s2,&s3);
        while(a[now]<=s3&&now<n){
            updata(now);//依次更新点，使它可以被用来更新其他的点 
            now++;
        }
        if(a[s1]>s3||a[s2]>s3)cout<<-1<<endl;
        else {
            if(f[s1][s2]==1e9)cout<<-1<<endl;
            else cout<<f[s1][s2]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

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