NC16708 过河卒_牛客博客

分析

设 $dp[i][j]$ 为从 $(0,0)$ 走到点 $(i,j)$ 的路径数。对于没有任何状态的格点图，显然有状态转移方程 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$ ；然而在题给的图中，有一些点是不可走的，对于一个被马控制的点 $(i,j)$ 有 $dp[i][j]=0$ 。综上所述，需要预处理出马可以控制的 $9$ 个点，定义 $is[i][j]$ ，若 $(i,j)$ 被马控制， $is[i][j]$ 为真。
有状态转移方程

$dp[i][j]=\begin{cases}0&,is[i][j]=1\\dp[i-1][j]+dp[i][j-1]&,is[i][j]=0 \end{cases}$

接下来分析边界条件，即确定 $dp[i][0](1\le i\le n)$ 和 $dp[0][j](1\le j\le m)$ 。由于过河卒只能向下和向右走，因此对于边界上某一点，走到这个点上的路径数至多为 $1$ ；若沿着边界一直走，碰到一个被马控制的点，那么边界上剩下的点都不可达，路径数为 $0$ 。

代码

#include<iostream>
#define N 30
using namespace std;
long long dp[N][N];
int n,m;
int x,y;
bool is[N][N];
int main()
{
    cin>>n>>m>>x>>y;
    int i,j;
    //预处理被马控制的九个点
    is[x][y]=1;
    if(x>=2&&y>=1) is[x-2][y-1]=1;
    if(x+2<=n&&y>=1) is[x+2][y-1]=1;
    if(x>=2&&y+1<=m) is[x-2][y+1]=1;
    if(x+2<=n&&y+1<=m) is[x+2][y+1]=1;
    if(x>=1&&y>=2) is[x-1][y-2]=1;
    if(x+1<=n&&y>=2) is[x+1][y-2]=1;
    if(x>=1&&y+2<=m) is[x-1][y+2]=1;
    if(x+1<=n&&y+2<=m) is[x+1][y+2]=1;
    //确定边界
    bool ok=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        //遇到被马控制的点后其余点皆不可走
        if(is[i][0]) ok=0;
        if(ok) dp[i][0]=1;
        else dp[i][0]=0;
    }
    ok=1;
    for(j=1;j<=m;j++)
    {
        if(is[0][j]) ok=0;
        if(ok) dp[0][j]=1;
        else dp[0][j]=0;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            //状态转移
            if(is[i][j]) dp[i][j]=0;
            else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}