【每日一题】2021年4月12日题目 [SCOI2010]股票交易

x题号 NC20280
名称 [SCOI2010]股票交易
来源 [SCOI2010]

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi ≥ BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。

同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。

在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

样例

算法1

(动态规划 + 前缀优化 + 单调队列优化)

~~观察一下数据范围，是个能用动态规划的题目~~

解决这种问题一个直觉就是贪心或者动态规划，看一下数据范围像是用动态规划

试着想一下状态表示：

题目中的限制都是围绕天数和股票数进行的

所以我们可以定义: $f[i][j]$ 表示第 $i$ 天持有 $j$ 支股票的最大收入是多少

接着思考状态计算：

首先我们思考一个暴力的状态转移然后再考虑如何优化

初值：第一天以前没有持有股票 $f[0][0] = 0,其余都为-INF$

第一重循环枚举天数

$for(i = 1;i <= n;i ++)$
第二重循环枚举第i天持有多少股票

$for(j = 0;j <= maxP;j ++)$
第三重循环枚举枚举上一次执行买入或者卖出操作的天数

$for(x = 1;x <= i - w - 1;x ++)$
第四从循环枚举第x天手中持有多少股票

有三种情况：

第 $i$ 天买入: $for(k = j - as;k <= j;k ++)$
枚举第x天持有的股票数，一直保持到到第i天买入

第 $i$ 天卖出: $for(k = j;k <= j + bs;k ++)$
枚举第x天持有的股票数，一直保持到到第i天卖出

第 $i$ 天不进行操作:

时间复杂度是 $O(N^2maxP^2)$ 的

只考虑卖出的情况：

根据上面的状态转移得到以下公式：

$f[i][j] = max_{1 <= x <= i - w - 1,j <= k <= j + bs_i}(f[x][k] + (k - j) * bp_i)$

我们发现对于 $f[x][k]$ 我们求的是一个前缀 $1 <= x <= i - w - 1$ 的最值我们可以用一个数组sum[]维护

令 $sum[k] = max_{1 <= x <= i - w - 1}(f[x][k])$

于是公式就变成了

$f[i][j] = max_{j <= k <= j + bs_i}(sum[k] + (k - j) * bp_i)$

时间复杂度变成 $O(N maxP^2 )$ 但依然会超时

我们再将公式转变一下 $f[i][j] = max_{j <= k <= j + bs_i}(sum[k] + k * bp_i - j * bp_i)$

上式中 $j * bp_i$ 是定值，而对于 $k$ 来说 $sum[k] + k * bp_i$ 是定值

问题就变成了从区间 $[j ,j + bs_i]$ 找到一个 $k$ 使得 $sum[k] + k * bp_i$ 最大的

我们继续观察 $j <= k <= j + bs_i$ ，我们发现随着 $j$ 的变化 $k$ 的值永远在一个长度为 $bs_i$ 的区间中

联想到滑动窗口模型，我们要在一个滑动区间长度为 $bs_i$ 中找到一个 $k$ 使得 $sum[k] + k * bp_i$ 最大

公式就变成: $用队列q维护下标k$

$f[i][j] = sum[q[hh]] + q[hh] * bp_i - j * bp_i$ ( $q[hh]是单调队列队头元素，我们维护一个单调递减队列$ )

同理：买入的公式为

$f[i][j] = max_{1 <= x <= i - w - 1,j - as_i <= k <= j}(f[x][k] - (j - k) * ap_i)$
$\leftrightarrow$ $f[i][j] = sum[q[hh]] + q[hh] * ap_i - j * ap_i$

最后除了执行卖出和买入操作，当天还可以不进行任何操作
即 $f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j)$

总结：

初值:

$sum[0] = 0,其余为-INF$

$f[0][0] = 0,其余为-INF$

状态计算:

$sum[k] = max(f[x][k]),(1 <= x <= i - w - 1)$

$f[i][j] = max(f[i - 1][j],sum[q[hh]] + q[hh] * bp_i - j * bp_i)$ (卖出)

$f[i][j] = max(f[i - 1][j],sum[q[hh]] + q[hh] * ap_i - j * ap_i)$ (买入)

时间复杂度为 $O(NmaxP)$

细节：
1.在进行卖出的状态计算时k是大于等于j的所以要从后往前枚举
2.第一天只有买入的情况，特殊处理一下（似乎不用特殊处理也行）

时间复杂度 $O(NMaxP)$

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int M = 2010;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
LL f[M][M],sum[M];
int q[M];
int n,m,w;

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&w);
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    memset(sum,-0x3f,sizeof sum);
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        LL ap,bp,as,bs;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&ap,&bp,&as,&bs);
        if(i - w - 1 >= 1) for(int j = 0;j <= m;j ++) sum[j] = max(sum[j],f[i - w - 1][j]);
        if(i == 1)
        {
            for(int j = 0;j <= as;j ++) f[i][j] = -j * ap;
        }else
        {
            int hh = 0,tt = -1;
            for(int j = 0;j <= m;j ++)
            {
                if(hh <= tt && j - q[hh] > as) hh ++;
                if(hh <= tt) f[i][j] = max(f[i][j],sum[q[hh]] + q[hh] * ap - j * ap);
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j]);
                while(hh <= tt && sum[q[tt]] + q[tt] * ap <= sum[j] + j * ap) tt --;
                q[++ tt] = j;
            }
            hh = 0,tt = -1;
            for(int j = m;j >= 0;j --)//(卖出从后往前枚举j)
            {
                if(hh <= tt && q[hh] - j > bs) hh ++;
                if(hh <= tt) f[i][j] = max(f[i][j],sum[q[hh]] + q[hh] * bp - j * bp);
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j]);
                while(hh <= tt && sum[q[tt]] + q[tt] * bp <= sum[j] + j * bp) tt --;
                q[++ tt] = j;
            }
        }
    }
    LL res = -INF;
    for(int i = 0;i <= m;i ++)
        res = max(res,f[n][i]);
    res = max(res,0ll);
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}

总结：

先思考暴力的状态转移然后想优化
观察到求前缀的最值用数组或者变量维护
滑动窗口最值用单调队列优化（记得公式要转化一下）