题解 | #股票(无限次交易)#

题意：

给定一个数组代表股票每天价格，最多只能进行两次交易（一次买进和一次卖出记为一次交易。买进和卖出均无手续费），求最多可以赚多少钱。

方法一：

解题思路：

参考题目NC134的解法，利用几个状态变量来记录遍历数组时的状态，动态求得股票的最大收益。
定义四个状态变量，分别是firstBuy,firstSell,secondBuy,secondSell.
（1） firstBuy---第一次买入股票后的最大收益
（2） firstSell---第一次卖出股票后的最大收益
（3） secondBuy---第二次买入股票后的最大收益
（4） secondSell---第二次卖出股票后的最大收益
对于上述四个状态变量，有如下状态转移的图。

根据上面的图我们可以写出转移方程：

      firstBuy=max(firstBuy,-prices[i]);
      firstSell=max(firstSell,firstBuy+prices[i]);
      secondBuy=max(secondBuy,firstSell-prices[i]);
      secondSell=max(secondSell,secondBuy+prices[i]);

遍历数组prices，随prices[i]的变动更新四个遍历的值，转移方程也较好理解：最大收益要么是之前的状态值，要么是其他状态变化到该状态的更新值。例如secondBuy=max(secondBuy,firstSell-prices[i]); 它的值更新源于第一次股票卖出后的最大收益减去当前股票价格，如果该值高于之前的secondBuy值，就更新。

代码如下：

class Solution {
public:
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     * 两次交易所能获得的最大收益
     * @param prices int整型vector 股票每一天的价格
     * @return int整型
     */
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        // write code here
        //定义四个状态变量
        int firstBuy=-prices[0],firstSell=0;
        int secondBuy=-prices[0],secondSell=0;
        //遍历prices数组，并更新状态变量的值
        for(int i=1;i<prices.size();i++){
            firstBuy=max(firstBuy,-prices[i]);//第一次买入
            firstSell=max(firstSell,firstBuy+prices[i]);//第一次卖出
            secondBuy=max(secondBuy,firstSell-prices[i]);//第二次买入
            secondSell=max(secondSell,secondBuy+prices[i]);//第二次卖出
        }
        //返回最大收益值
        return secondSell;
    }
};

在代码中最后返回的值是secondSell，准确来说应该是返回0,firstSell,secondSell中的最大值。但是从上述式子中我们不难推出secondSell>=firstSell>=0的关系，因此直接返回secondSell即可。

复杂度分析：

时间复杂度： $O(n)$ ，遍历数组prices。
空间复杂度： $O(1)$ ，常数个临时变量。

方法二：动态规划

解题思路：

针对上述方法一，可以用一种更易于理解的动态规划方法。使用数组dp来记住每天的状态，dp[i]的相关信息依赖于前一天的信息dp[i-1]。空间复杂度更高，为O(n)。

代码如下：

class Solution {
public:
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     * 两次交易所能获得的最大收益
     * @param prices int整型vector 股票每一天的价格
     * @return int整型
     */
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        // write code here
        //定义四个状态变量数组
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4, 0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][2] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);//第一次买入股票后的最大收益
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);//第一次卖出股票后的最大收益
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i]);//第二次买入股票后的最大收益
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] + prices[i]);//第二次卖出股票后的最大收益
        }
        return dp[prices.size() - 1][3];
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度： $O(n)$ ，遍历数组一次。
空间复杂度： $O(n)$ ，额外 $4n$ 的数组元素存储空间。