<span>图论学习笔记2</span>

最短路

多源最短路
- Floyd
- Dijkstra

多源最短路

Floyd

$F l o y d$ 是基于 $D P$ 思想。
设 $k$ 为中转点，与 $i$ , $j$ 都有边相连。
那么可以得到 $d i s [i] [j]$ 的最短路径的状态转移方程为：
$d i s [k, i, j] = m i n (d i s [k - 1, i, j], d i s [k - 1, i, k] + d i s [k - 1, k, j]$

memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
memset(pre, 0, sizeof(pre));
pre[u][v] = u;

void Floyd() {
    for(int k = 1;k <= n; k++) {
        for(int i = 1;i <= n; i++) {
            for(int j = 1;j <= n; j++) {
                if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) {
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                    pre[i][j] = pre[k][j];//输出路径
                }    
            }
        }
    }
}

void print(int x) {
    if(pre[s][x] == 0) {
        printf("%d ", s);
        return ;
    }
    print(pre[s][x]);
    printf("%d ", x);
}

Dijkstra

$D i j k s t r a$ 使用贪心思想，求最短路的步骤如下：
1.初始化：把 $d i s []$ 置为∞， $v []$ 置为0表示还没有访问过。
2.循环遍历与当前节点相邻的节点，找出最短的距离。
3.用找出的最短距离更新剩下的节点。

一般版本

void Dijkstra(int s, int t) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(v, 0, sizeof(v));
    v[s] = 1;
    for(int i = 1;i < n; i++) {
        int k = 0;
        for(int j = 1;j <= n; j++) {
            if(! v[j] && (k == 0 || dis[j] < dis[k])) k = j;
        }
        v[k] = 1;
        for(int j = 1;j <= n; j++) {
            if(dis[k] + w[k][j] < dis[j]) {
                dis[j] = dis[k] + w[k][j];
                pre[j] = k;
            }
        }
    }
}

void print(int x) {
    if(pre[x] == 0) {
        printf("%d ", x);
        return ;
    }
    print(pre[x]);
    printf("%d ", x);
}

邻接表优化

struct edge {
    int v, w;
    edge(){}
    edge(int V, int W) {
        v = V;
        W = W;
    }
};

void DijkstraAdl(int s, int t) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(v, 0, sizeof(v));
    dis[s] = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        int u, v, w;
        for(int j = 1;j <= n; j++) {
            if(! v[i] && dis[i] < dis[u]) u = i;
        }
        v[u] = 1;
        for(int j = 0;j < G[u].size(); j++) {
            v = G[u][j].v, w = G[u][j].w;
            if(dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                pre[v] = u;
            }
        }
    }
}

优先队列优化

#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2505;

int n, m, s, t;
bool vis[MAXN];
int dis[MAXN];

struct edge {
    int v, w;
    edge() {}
    edge(int V, int W) {
        v = V;
        w = W;
    }
};

struct node {
    int u, dis;
    node() {}
    node(int U, int D) {
        u = U;
        dis = D;
    }
    friend bool operator<(node x, node y) { return x.dis > y.dis; }
};

priority_queue<node> q;
vector<edge> G[MAXN];

void AddEdge(int u, int v, int w) {
    G[u].push_back(edge(v, w));
    G[v].push_back(edge(u, w));
}

void Dijkstra(int s, int t) {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    q.push(node(s, 0));
    while (q.size()) {
        int now = q.top().u;
        q.pop();
        if (vis[now])
            continue;
        vis[now] = 1;
        for (int i = 0; i < G[now].size(); i++) {
            int v = G[now][i].v;
            if (dis[v] > dis[now] + G[now][i].w) {
                dis[v] = dis[now] + G[now][i].w;
                q.push(node(v, dis[v]));
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        AddEdge(u, v, w);
    }
    Dijkstra(s, t);
    printf("%d\n", dis[t]);
    return 0;
}