写两种做法吧。
第一种是直接重心性质，第二种是树形dp+换根。

一、利用重心性质：
下面是树的重心的性质：
1.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个重心，他们的距离和一样。
2.把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3.一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4.一棵树最多有两个重心，且相邻。
摘自百度百科

这题就考察到了树的重心的第一个性质
即树中所有点到重心的距离和最小，而此题所求的最小的w，就是所有点到重心的距离之和。

所以考虑dfs树形dp求出重心，然后bfs求出每个点距离重心的距离进行累加求和即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 100000000
#define x first
#define y second
#define pp pair<ll, ll>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2e6+5;
ll head[N], top = 0;
ll n;
ll son[N], vis[N];
ll ans, res, point;
struct Edge
{
  ll v, next;
} edge[N * 2];

void init()
{
  memset(head, -1, sizeof(head));
  top = 0;
  memset(son, 0, sizeof(son));
  ans = inf;
}

void addedge(ll u, ll v)
{
  edge[top].v = v;
  edge[top].next = head[u];
  head[u] = top++;
}

void dfs(ll u, ll fa)
{
  son[u] = 1;
  ll Max = 0;
  for (ll i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
  {
    ll v = edge[i].v;
    if (v == fa)
      continue;
    dfs(v, u);
    son[u] += son[v];
    Max = max(Max, son[v]);
  }

  ll tmp = max(Max, n - son[u]);
  if (tmp < ans || tmp == ans && u < point)
  {
    ans = tmp;
    point = u;
  }
}

void bfs()
{
  queue<pp> q;
  vis[point] = 1;
  q.push(make_pair(point, 0));
  while (!q.empty())
  {
    pp now = q.front();
    q.pop();
    for (ll i = head[now.x]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
      ll to = edge[i].v;
      if (!vis[to])
      {
        vis[to] = 1;
        q.push(make_pair(to, now.y + 1));
        res += now.y + 1;
      }
    }
  }
}

int main()
{
  init();
  scanf("%lld", &n);
  for (ll i = 1; i < n; i++)
  {
    ll u, v;
    scanf("%lld%lld", &u, &v);
    addedge(u, v);
    addedge(v, u);
  }
  dfs(1, -1);
  bfs();
  printf("%lld\n", res);
  return 0;
}

如果不知道重心的这个性质也没关系，直接树形dp+换根也能做。
首先随便取一个点作为根dfs一下，求出每个子树的大小,对于这次dfs的W的值就是 sum+=size[v]-1
即计算每个父节点与子节点连接的边被多少点经过。
然后考虑换根 怎么换根呢
假设父节点为root，子节点为son
对于刚才计算的则有图片说明
什么意思呢？ 考虑从根从父节点root到子节点son
那么对于son内部的所有点(包括son自己)要走的路就少了一条，就是减少了图片说明
对于其他点还有图片说明 个
他们要多走一步
所以在此dfs一下，更新每个点作为根的最小值就是答案了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+50;
vector<int> e[maxn];
int siz[maxn];
int ans,sum,n;
void dfs(int x,int f){
    siz[x]=1;
    for(auto it:e[x]){
        if(it==f) continue;
        dfs(it,x);
        siz[x]+=siz[it];
    }
    sum+=siz[x]-1;
}
void dfs_(int x,int f){
    ans=min(ans,sum);
    for(auto it:e[x]){
        if(it==f) continue;
        sum+=n-2*siz[it];
        dfs_(it,x);
        sum-=n-2*siz[it];
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y;cin>>x>>y;
        e[x].push_back(y);
        e[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,-1);
    ans=sum;
    dfs_(1,-1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}