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1071. 字符串的最大公因子

题目描述：

对于字符串 S 和 T，只有在 S = T + ... + T（T 与自身连接 1 次或多次）时，我们才认定“T 能除尽 S”。

返回最长字符串 X，要求满足 X 能除尽 str1 且 X 能除尽 str2。

  1. 1 <= str1.length <= 1000
  2. 1 <= str2.length <= 1000
  3. str1[i] 和 str2[i] 为大写英文字母

示例：

示例 1：

输出：str1 = "ABCABC", str2 = "ABC"
输出："ABC"

示例 2：

输入：str1 = "ABABAB", str2 = "ABAB"
输出："AB"

示例 3：

输入：str1 = "LEET", str2 = "CODE"
输出：""

思路：

题目要求 X 能除尽 str1 且 X 能除尽 str2，且 X 为最长。

那么可以理解为 str1 由 m 个 X 连接而成， str2 由 n 个 X 连接而成。由此可知 str1 + str2 由 m + n 个 X 拼接而成，而且 str1 + str2 与 str2 + str1 在值上是相等的。

然后此题就转化为了求最大公约数。str1 和 str2 长度的最大公约数，就是所求 X 的长度。

方法一：辗转相除法

辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

辗转相除法是递归算法，一句话概括这个算法就是：两个整数的最大公约数，等于其中较小的数 和两数相除余数 的最大公约数。
比如 10 和 25，25 除以 10 商 2 余 5，那么 10 和 25 的最大公约数，等同于 10 和 5 的最大公约数。

代码实现：

class Solution {
    public String gcdOfStrings(String str1, String str2) {
        // 如果 (str1 + str2) 和 (str2 + str1) 的值不相等
        if (!(str1 + str2).equals(str2 + str1)) {
            return "";
        }
        // 两个字符串长度的最大公约数
        int maxCommonDivisor = gcd(str1.length(), str2.length());
        return str1.substring(0, maxCommonDivisor);
    }
    
    // 辗转相除法求最大公约数
    private int gcd(int a, int b) {
        return (a % b == 0) ? b : gcd(b, a % b);
    }
}

方法二：更相减损术

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

原文：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

步骤：

  1. 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，则用 2 约简；若不是则执行第二步；
  2. 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止；
  3. 则第一步中约掉的若干个 2 的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

通常编程实现更相减损术都比较粗略，直接就从第二步开始了，如下：

// 更相减损术求最大公约数
public int gcd(int a, int b) {
    if (a == b) {
        return a;
    }
    if (a < b) {
        return gcd(b - a, a);
    } else {
        return gcd(a - b, b);
    }
}

从第一步开始的：

private int gcd(int a, int b) {
    if (a == b) {
        return a;
    }
    if (a < b) {
        // 保证第一个数大，没啥原因，就是不想写那么多代码
        return gcd(b, a);
    } else {
        if ((a/2==0) && (b/2==0)) {
            // a，b都是偶数
            return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
        } else if ((a/2==0) && (b/2!=0)) {
            // a是偶数，b是奇数
            return gcd(a >> 1, b);
        } else if ((a/2!=0) && (b/2==0)) {
            // a是奇数，b是偶数
            return gcd(a, b >> 1);
        } else {
            // a，b都是奇数
            return gcd(a - b, b);
        }
    }
}