思路1：二分法。
初始low=1, high的初始化有讲究：
若x大于4，high初始化为x/2; 若x<=4，high初始化为x. 至少这样可加速查找过程。（证明很简单，见下图）
- 若mid*mid <= x,接着判断
-
(1)若(mid+1)^2>x,则返回mid; -
(2)否则在右半区间查找，low=mid+1;
- 若mid*mid > x,在右半区间查找,high=mid-1;
- 另外需要注意运算避免溢出
复杂度
空间复杂度 O(1)，时间复杂度 O(logx)
代码（JAVA）
public class Solution {
public int sqrt (int x) {//二分法
if(x==0||x==1) return x;//题中告诉我们x的范围： 0 <= x < 2^31-1
int low=1,high=x;
if(x>4) high=high>>1;//x大于4时，根号x小于x/2
int mid=0;
while(low<=high) {
mid=low+((high-low)>>1);//注意，加法运算符优先级比移位运算符优先级高，移位运算符外面需要加括号
if(mid<=x/mid) {
if(mid+1>x/(mid+1)) return mid;
else low=mid+1;
}
else high=mid-1;
}
return 0;
}
}
思路2：牛顿迭代法（Newton-Raphson method）。
这里先引用一些介绍，不熟悉牛顿迭代公式的小伙伴可以看一下，熟悉的可跳过。
产生背景：
牛顿迭代公式：
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。 对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。
对应此题，我给大家做了推导过程，迭代公式由泰勒展开前两项得到，不难得到。
需要特别关注最后的推导结果
代码（JAVA）
public class Solution {
public int sqrt (int x) {//牛顿迭代法
if(x==0||x==1) return x;//题中告诉我们x的范围： 0 <= x < 2^31-1
long X0=x;//使用int进行加法运算可能溢出，所以采用long型
long X1=0;//下一个迭代变量，为了方便理解，也可只使用X0
while(X0>x/X0) {//X0^2>x循环
X1=(X0+x/X0)>>1;//由迭代公式得，采用右移1位操作代替除以2，运算更快
X0=X1;//把下一个迭代变量赋给X0,统一操作，方便继续处理
}
return (int)X0;//返回值类型为int,因此需要做强制类型转换
}
}
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