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X问题 HDU - 1573& Strange Way to Express Integers POJ - 2891

1. 题意

  1. 一个数模 m i m_i mi​ 等于 a i a_i ai​，第一个问题是求最小的，第二个问题是求x<=n有多少个

2. 分析

合并两个模数
假设
         $ y= a_1 (mod \ m_1)$
         $ y =a_2 (mod \ m_2)$
令
         $ x \equiv a_1 + t_1m_1; （1）$
         $ x \equiv a_2 + t_2m_2; （ 2） $
两式相减得         $ t_1*m_1- t_2 *m_2 = a_1 - a_2（3）$
        利用欧几里得扩展求出 t 1 t_1 t1​带入（1） 求出一个特解 x x x
y = x ( m o d <mtext>   </mtext> l c m ( m 1 , m 2 ) ) y = x (mod \ lcm(m_1,m_2)) y=x(mod lcm(m1​,m2​))
证明 x与y同余于 l c m （ m 1 , m 2 ) lcm（m_1,m_2) lcm（m1​,m2​)
m 1 ∣ x − y m_1|x-y m1​∣x−y
m 2 ∣ x − y m_2|x-y m2​∣x−y
所以 l c m ( m 1 , m 2 ) ∣ x − y lcm(m_1,m_2)|x-y lcm(m1​,m2​)∣x−y,所以x和y关于 l c m ( m 1 , m 2 ) lcm(m_1,m_2) lcm(m1​,m2​) 同余

3.参考代码

X问题 HDU - 1573


const int maxn = 100;
int aa[maxn];
int bb[maxn];
int N,M;
int  ex_gcd(int a,int b,int  &x,int  &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    LL c = ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y -= a/b*x;
    return c;
}

int main(void)
{
    int T;
    cin>>T;

    while(T--)
    {
        cin>>N>>M;
        int A,B;
        for(int i = 0; i < M; ++i)
            cin>>aa[i];
        for(int i = 0;i < M; ++i)
            cin>>bb[i];
        A = aa[0];
        B = bb[0];
        bool F = true;
        for(int i = 1; i < M; ++i)
        {
            int  x,y;
            int d = ex_gcd(A,aa[i],x,y);
            int c = bb[i] - B;
            if(c%d!=0)
            {
                F = false;
                break;
            }
            c /= d;
            x *= c;
            aa[i] /= d;
            x = (x%aa[i]+aa[i])%aa[i];
            B = B + x * A;
            A = A*aa[i];
            B = (B%A+A)%A;
        }
        if(!F)
            cout<<0<<endl;
        else
        {
            if(B==0)
                cout<<N/A<<endl;
            else
                cout<< N/A+((N-N/A*A)>=B?1:0)<<endl;
        }

    }




}

Strange Way to Express Integers POJ - 2891

using namespace std;

long long exgcd(long long m,long long n,long long &x,long long &y)
{
    long long x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    long long r=m%n;
    long long q=(m-r)/n;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        m=n; n=r; r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}

int main()
{
    int n;
    long long a1,r1,a2,r2,c,d,x,y;
    bool flat;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        flat=false;
        scanf("%lld%lld",&a1,&r1);
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&a2,&r2);
            if(flat)continue;
            c=r2-r1;
            d=exgcd(a1,a2,x,y);
            if(c%d)
            {
                flat=true;
                continue;
            }
            x*=c/d;
            a2/=d;
            x=(x%a2+a2)%a2;
            r1=r1+x*a1;
            a1*=a2;
        }
        if(flat)puts("-1");
        else printf("%lld\n",r1);
    }
    return 0;
    }