一篇总结很全面的blog:
http://blog.csdn.net/tc_to_top/article/details/48025849
欧拉函数:
定义: <nobr> φ(n) </nobr>表示1~n中和n互素的数目
性质:
首先可以根据概念得知,当n为素数时,显然 <nobr> ϕ(n)=n−1 </nobr>
欧拉函数是个不完全积性函数,证明过程较复杂,贴个链接赶紧跑
根据它积性函数的性质和唯一分解定理,我们就可以把任意一个 <nobr> φ(n) </nobr>分解为
<nobr> φ(n)=∏φ(pkii) </nobr>
那么我们只需求出 <nobr> φ(pk) </nobr> 就可以求出任意数的欧拉函数值
<nobr> 1 </nobr> ~ <nobr> pk </nobr> 一共有 <nobr> pk </nobr> 个数,其中是p的倍数的有{ <nobr> p,2p,3p,……pk </nobr> }共 <nobr> pk−1 </nobr> 个数,据上述
我们就得到了欧拉函数的一般求解公式
求解时分三种情况:
- 当i为素数时,显然 <nobr> ϕ(i)=i−1 </nobr>
- 当 <nobr> i%prime[j]≠0 </nobr>时, <nobr> prime[j] </nobr>一定是 <nobr> i×prime[j] </nobr>的最小的质因子,所以有 <nobr> gcd(i,prime[j])=1 </nobr>,由积性函数的性质可得 <nobr> ϕ[i∗prime[j]]=ϕ[i]∗(prime[j]−1) </nobr>
- 当 <nobr> i×prime[j]=0 </nobr>时,根据欧拉函数的定义式: <nobr> ϕ[n]=n×∏ki=1(1−1pi) </nobr>,故若 <nobr> i×prime[j]=0 </nobr> , <nobr> prime[j] </nobr>在之前已经筛过, <nobr> i∗prime[j] </nobr>的质因子数不变
则 <nobr> ϕ[i∗prime[j]]=ϕ[i]×prime[j] </nobr>
下面是线性筛+求欧拉函数\莫比乌斯函数\约数个数的代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10000010;
int prime[N],cnt,phi[N],mob[N],fac[N],d[N];
bool isprime[N];
void Get_table()
{
mob[1]=1;
phi[1]=1;
fac[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!isprime[i])
{
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
mob[i]=-1;
fac[i]=2;
d[i]=1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&(long long)i*prime[j]<=N;j++)
{
isprime[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
mob[i*prime[j]]=0;
fac[i*prime[j]]=fac[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2);
d[i*prime[j]]=d[i]+1;
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
mob[i*prime[j]]=-mob[i];
fac[i*prime[j]]=fac[i]*2;
d[i*prime[j]]=1;
}
}
}
int main()
{
int n;
Get_table();
while(cin>>n)
cout<<phi[n]<<" "<<mob[n]<<" "<<fac[n]<<endl;
return 0;
}