test_牛客博客

有限微积分

定义 $\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ ,以及与微积分类似的操作 $\sum_a^b g(x) \delta x = \sum_{k=a}^{b-1} g(k)$ 。

有 $\Delta x^{\underline m} = m x^{\underline{m-1}}$ ，与求导法则类似。

$\sum_{0\leq k < n} k^{\underline m} = \frac {n^{\underline {m+1} }} {m+1}$ 与积分法则类似。

阶乘二项式定理 $(x+y)^{\underline n}=\sum_k\binom {n}{k}x^{\underline k} y^{\underline {n-k}}$

$\begin{equation}\sum\nolimits^b_a x^\underline m\delta x=\left\{\ \begin{aligned}\left. \frac{x^\underline{m+1}}{m+1} \right|^b_a,&&m\neq -1\\H_x|^b_a,&&m=-1 \end{aligned}\right.\end{equation}$

同样我们有 $\Delta(uv) = u\Delta(v) + Ev\Delta(u)$ 。

一个例子

求 $\sum_{0\leq k<n}kH_k$ 的封闭形式

用分步求和法则，取 $u(x) = H_x, \Delta(u(x)) = x^{\underline{-1}}, \Delta(v(x)) = x = x^{\underline 1}, v(x) = \frac {x^{\underline 2}}{2}, Ev(x) = (x+1)^{\underline 2}/2$ ，我们有 $\sum xH_x\delta x = \frac {x^{\underline 2}}{2} H_x - \sum \frac {(x+1)^{\underline 2}}{2} x^{\underline{-1}} \delta x = \frac {x^{\underline 2}} {2} H_x - \frac {x^{\underline 2}}{4} + C$ ，代入界限得到 $= \frac {n^{\underline 2}}{2} (H_n - \frac {1}{2})$