第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、映射
1. 映射概念
构成映射的三要素:定义域、值域
、对应法则
。其中:
,
是
在对应法则
下的值域
值唯一
满射:Y中的任一元素都可以在
中找到对应的原像。
单射:对中任意两个不同的元素
,它们的像
。
- 映射
既是单射又是满射,则称
一一映射(双射)
映射又称为算子。
- 从非空***
到数集
的映射称为
上的泛函
- 从非空***
到它自身的映射称为
上的表换
- 从实数集(或子集)
到实数集
的映射称为定义在
上的函数
2. 逆映射与复合映射
- 只有单射才存在逆映射
- 复合映射存在顺序,
有意义并不代表
有意义;两个都有意义并不能说明二者相同
二、函数
1. 函数的概念
函数是从实数集打实数集的映射,其值域总在内。
构成函数的要素:定义域和对应法则
。
绝对值函数:$$
符号函数:$$
- 对任意实数
,
取整函数:,其函数图形称为阶梯曲线。
2. 函数的几种特性
(1)有界性:
- 函数
在
上有界的充分必要条件是它在
上既有上界,又有下界
(2)单调性:
(3)奇偶性:
:奇函数
:偶函数
- 奇函数关于原点对称;偶函数关于
轴对称
(4)周期性:定义域,若存在
,使得对任一
,有
,且
,则称
为
的周期。
- 一般说函数的周期指的是函数的最小正周期
- 并非每个周期函数都存在最小正周期,狄利克雷函数:$
$
3. 反函数与复合函数
反函数的对应法则完全由函数
的对应法则确定。
反函数的单调性和原函数相同。
反函数与直接函数(原函数)关于直线对称。
与
能构成复合函数
的条件是:函数
的值域
必须包含在函数
的定义域
内,即
。
4. 函数的运算
设、
的定义域分别为
、
,
,则:
5. 初等函数
五个基本初等函数:
幂函数:
指数函数:
对数函数:
三角函数:
反三角函数:
基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合,所构成的新的函数,称为初等函数。
双曲正弦:,双曲余弦:
,双曲正切:
- 它们的定义域均为
- 双曲正弦是奇函数,双曲余弦是偶函数,双曲正切是奇函数
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
定义:设为一数列,如果存在常熟
,对任意给定的正数
,总存在正整数
,使得当
时,不等书
都成立,那么称常熟
是数列
的极限,或者数列
收敛于
,记为
。
二、收敛数列的性质
- 唯一性:如果数列收敛,那么它的极限唯一
- 有界性:如果数列收敛,那么它必定有界
- 保号性:如果数列收敛于
,且
(或
),那么存在正整数
,当
时,都有
(或
)
- 保序性:如果原数列收敛,那么它的任一子序列也收敛,且收敛于同一值
第三节 函数的极限
一、函数极限的定义
1. 自变量趋近于有限值时函数的极限
设函数在点
的去心邻域内有定义。如果存在常熟
,对任意给定的正数
(不管它有多小),总存在正数
,使得当
满足不等式
时,对应的函数值
都满足不等式
。那么常数
就叫做函数
当
的极限,记作:
或
,当
时。
从
的左侧趋近于
时的情形,称为左极限;反之,称为右极限。两者统称位单侧极限
- 函数在某点极限存在的充要条件是:在该点处的左右极限存在且相等。
2. 自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数当
大于某一正数时有定义。如果存在常数
,对任意给定的正数
(无论它有多小),总存在着正数
,使得当
满足不等式
时,对应的函数值
都满足不等式
,那么常数
就叫做函数
当
时的极限,记作:
或者
,当
时。
二、函数极限的性质
- 唯一性
- 局部有界性:如果
,那么存在常数
和常数
,使得当
时,
- 局部保号性:如果
且
(或
),那么存在常数
,使得当
时,有
(或
)
- 函数极限与数列极限的关系
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小
- 如果函数
当
(或
)时的极限等于0,那么称
为
(或
)的无穷小
- 在自变量的同一变化过程中
(或
),函数
具有极限
的充分必要条件是
,其中
是无穷小
二、无穷大
- 设函数在
的某一去心邻域内有定义(或
大于某一个正数时有定义)。如果对任意给定的正数
(无论它有多么大),总存在正数
(或正数
),只要
满足不等式
(或
),对应的函数值
总满足不等式
,那么称函数
是
(或
)的无穷大
- 一般来说,如果
,那么直线
是图像
的铅直渐近线
第五节 极限运算法则
- 有限个无穷小的和是无穷小
- 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
- 如果
,
,那么
- 若
,则
- 复合函数的运算法则:设函数
是由函数
和函数
复合而成,
在点
的去心邻域
内有定义,若
,
,且存在
,当
时,由
,则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
准则一:如果数列
、
、
同时满足
- 从某项起,当
,
时,有
,
那么数列
的极限存在,且
。该准则又称夹逼准则。
- 从某项起,当
准则二:单调有界数列必有极限
两个重要极限:
柯西极限存在准则:数列
收敛的充分必要条件是,对给定的任意正数
,存在正整数
,使得当
时,有
第七节 无穷小的比较
- 无穷小之比的各种不同情况,反应了不同的无穷小趋于零的快慢程度
- 如果
,那么称
为比
高阶无的穷小,记作
- 如果
,那么称
时比
低阶的无穷小
- 如果
,那么称
与
是同阶无穷小
- 如果
,那么称
是
的
阶无穷小
- 如果
,那么称
是
的等价无穷小,记作
- 如果
- 常用的等价无穷小
时
- 设
,
,且
存在,则
- 无穷小具有以下性质:
- 自反性:
- 对称性:若
,则
- 传递性:若
,
,则
- 自反性:
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
- 增量
是变量终值
与初值
的差,即
,它可以为正或者为负,也可以为零
- 函数连续的定义:
- 设函数
在点
的某一领域内有定义,如果
,那么称函数在点
处连续
- 设函数
在点
的某一领域内有定义,如果
,那么称函数在点
处连续
- 设函数
二、函数的间断点
- 无穷间断点:函数在点
处没有定义,且该点的极限存在且趋近于无穷大
- 振荡间断点:函数在点
处没有定义,且在该点没有极限
- 可去间断点:函数在点
处没有定义,但是极限存在,趋于某个确定值
- 跳跃间断点:函数在点
处左右极限存在但不相等
- 第一类间断点:左右极限都存在(未要求是否相等)
- 第二类间断点:除第一类间断点
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
- 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
- 在闭区间上连续的函数,一定有界,且一定能取得它的最大值和最小值
二、零点定理与界值定理
- 零点定理:设函数
在闭区间
上连续,且
与
异号(即
),则在开区间
上至少存在一点
,使得
- 界值定理:设函数
在闭区间
上连续,且在这个闭区间的端点取不同的函数值,即
,则对于任意一个在
之间的数
,在开区间
上,至少存在一点
,使得
三、一致连续性
- 一致连续性:设函数
在区间
上有定义。如果对任意给定的正数
,总存在证书
,使得对区间
上的任意两点
,
,当
时,有
,那么称函数
在区间
上一致连续
- 一致连续性定理:如果函数
在闭区间
上连续,那么它在该区间上一致连续