第一章函数与极限

第一节映射与函数

一、映射

1. 映射概念

构成映射的三要素：定义域 $X$ 、值域 $Y$ 、对应法则 $f$ 。其中：

$R_X \subset Y$ ， $R_x$ 是 $X$ 在对应法则 $f$ 下的值域
$f(x)$ 值唯一

满射： $Y$ Y中的任一元素都可以在 $X$ 中找到对应的原像。

单射：对 $X$ 中任意两个不同的元素 $x_1 \ne x_2$ ，它们的像 $f(x_1) \ne f(x_2)$ 。

映射 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 一一映射（双射）

映射又称为算子。

从非空*** $X$ 到数集 $Y$ 的映射称为 $X$ 上的泛函
从非空*** $X$ 到它自身的映射称为 $X$ 上的表换
从实数集（或子集） $X$ 到实数集 $Y$ 的映射称为定义在 $X$ 上的函数

2. 逆映射与复合映射

只有单射才存在逆映射
复合映射存在顺序， $f \circ g$ 有意义并不代表 $g \circ f$ 有意义；两个都有意义并不能说明二者相同

二、函数

1. 函数的概念

函数是从实数集打实数集的映射，其值域总在 $R$ 内。

构成函数的要素：定义域 $D_f$ 和对应法则 $f$ 。

绝对值函数：$ $y = |x| = \begin{cases} -x, x < 0 \\ x, x \geq 0 \end{cases}$ $

符号函数：$ $y = sgnx = \begin{cases} -1, x < 0 \\ 0, x = 0 \\ 1, x > 0 \end{cases}$ $

对任意实数 $x$ ， $x = sgnx \cdot |x|$

取整函数： $y = [x]$ ，其函数图形称为阶梯曲线。

2. 函数的几种特性

（1）有界性：

函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界的充分必要条件是它在 $X$ 上既有上界，又有下界

（2）单调性：

（3）奇偶性：

$f(-x) = - f(x)$ ：奇函数
$f(-x) = f(x)$ ：偶函数
奇函数关于原点对称；偶函数关于 $y$ 轴对称

（4）周期性：定义域 $D$ ，若存在 $l$ ，使得对任一 $x$ ，有 $x, x+l \in D$ ，且 $f(x+l) = f(x)$ ，则称 $l$ 为 $f(x)$ 的周期。

一般说函数的周期指的是函数的最小正周期
并非每个周期函数都存在最小正周期，狄利克雷函数：$ $D(x) = \begin{cases} 1, x \in Q \\ 0, x \in Q^C \end{cases}$ $

3. 反函数与复合函数

反函数 $f^{-1}$ 的对应法则完全由函数 $f$ 的对应法则确定。

反函数的单调性和原函数相同。

反函数与直接函数（原函数）关于直线 $y = x$ 对称。

$g$ 与 $f$ 能构成复合函数 $f \circ g$ 的条件是：函数 $g$ 的值域 $R_g$ 必须包含在函数 $f$ 的定义域 $D_f$ 内，即 $R_f \subset D_f$ 。

4. 函数的运算

设 $f(x)$ 、 $g(x)$ 的定义域分别为 $D_1$ 、 $D_2$ ， $D = D_1 \cap D_2$ ，则：

$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x), x \in D$
$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x), x \in D$
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \{x|g(x) \neq 0, x \in D\}$

5. 初等函数

五个基本初等函数：

幂函数： $y = x^\mu, \mu \in R$

指数函数： $y = a^x, a > 0 \& a \neq 1$

对数函数： $y = log_ax, a > 0 \& a \neq 1$

三角函数： $y = sinx, y = conx, y = tanx$

反三角函数： $y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx$

基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合，所构成的新的函数，称为初等函数。

双曲正弦： $shx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ ，双曲余弦： $chx = \frac{ e^x + e^{-x} }{2}$ ，双曲正切： $thx = \frac{shx}{chx}$

它们的定义域均为 $R$
双曲正弦是奇函数，双曲余弦是偶函数，双曲正切是奇函数

第二节数列的极限

一、数列极限的定义

定义：设 $\{ x_n \}$ 为一数列，如果存在常熟 $a$ ，对任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，不等书 $| x - a| < \varepsilon$ 都成立，那么称常熟 $a$ 是数列 $\{ a_n \}$ 的极限，或者数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $a$ ，记为 ${\lim_{n \to \infty} a_n} = a$ 。

二、收敛数列的性质

唯一性：如果数列收敛，那么它的极限唯一
有界性：如果数列收敛，那么它必定有界
保号性：如果数列收敛于 $a$ ，且 $a > 0$ （或 $a < 0$ ），那么存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，都有 $x_n > 0$ （或 $x_n < 0$ ）
保序性：如果原数列收敛，那么它的任一子序列也收敛，且收敛于同一值

第三节函数的极限

一、函数极限的定义

1. 自变量趋近于有限值时函数的极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的去心邻域内有定义。如果存在常熟 $A$ ，对任意给定的正数 $\varepsilon$ （不管它有多小），总存在正数 $\delta$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x) - A| < \epsilon$ 。那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 的极限，记作： $lim_{x \to x_0}f(x) = A$ 或 $f(x) \to A$ ，当 $x \to x_0$ 时。

$x$ 从 $x_0$ 的左侧趋近于 $x_0$ 时的情形，称为左极限；反之，称为右极限。两者统称位单侧极限
函数在某点极限存在的充要条件是：在该点处的左右极限存在且相等。

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义。如果存在常数 $A$ ，对任意给定的正数 $\varepsilon$ （无论它有多小），总存在着正数 $X$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $|x| > x$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x) - A| < \varepsilon$ ，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作： $lim_{x \to \infty}f(x) = A$ 或者 $f(x) \to A$ ，当 $x \to \infty$ 时。

二、函数极限的性质

唯一性
局部有界性：如果 $lim_{x \to x_0}{f(x)} = A$ ，那么存在常数 $M > 0$ 和常数 $\delta > 0$ ，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时， $|f(x)| \leq M$
局部保号性：如果 $lim_{x \to x_0}{f(x)} = A$ 且 $A > 0$ （或 $A < 0$ ），那么存在常数 $\delta > 0$ ，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $f(x) > 0$ （或 $f(x) < 0$ ）
函数极限与数列极限的关系

第四节无穷小与无穷大

一、无穷小

如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$ ）时的极限等于0，那么称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$ ）的无穷小
在自变量的同一变化过程中 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$ ），函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x) = A + \alpha$ ，其中 $\alpha$ 是无穷小

二、无穷大

设函数在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义（或 $|x|$ 大于某一个正数时有定义）。如果对任意给定的正数 $M$ （无论它有多么大），总存在正数 $\delta$ （或正数 $X$ ），只要 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ （或 $|x| > X$ ），对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式 $f(x) > M$ ，那么称函数 $f(x)$ 是 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$ ）的无穷大
一般来说，如果 $lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$ ，那么直线 $x = x_0$ 是图像 $f(x)$ 的铅直渐近线

第五节极限运算法则

有限个无穷小的和是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
如果，，那么
1. $lim[f(x) \pm g(x)] = limf(x) \pm limg(x) = A \pm B$
2. $lim[f(x) \cdot g(x)] = limf(x) * limg(x) = A \cdot B$
3. 若 $B \neq 0$ ，则 $lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{limf(x)}{limg(x)} = \frac{A}{B}$
复合函数的运算法则：设函数 $y = f[g(x)]$ 是由函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 复合而成， $f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的去心邻域 $\mathring{U}(x_0, \delta_0)$ 内有定义，若 $lim_{x \to x_0}{g(x)} = u$ ， $lim_{u \to u_0}{f(u)} = A$ ，且存在 $\delta_0 > 0$ ，当 $\mathring{U}(x_0, \delta_0)$ 时，由 $g(x) \neq u_0$ ，则 $lim_{x \to x_0}{f[g(x)]} = lim_{u \to u_0}{f(u)} = A$

第六节极限存在准则两个重要极限

准则一：如果数列 $\{x_n\}$ 、 $\{y_n\}$ 、 $\{z_n\}$ 同时满足
1. 从某项起，当 $n > n_0$ ， $n_0 \in N_+$ 时，有 $y_n \leq x_n \leq z_n$
2. $lim_{n \to \infty}{y_n} = a$ ， $lim_{n \to \infty}{z_n} = a$
那么数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 $lim_{x \to \infty}{x_n} = a$ 。该准则又称夹逼准则。
准则二：单调有界数列必有极限
两个重要极限：
1. $lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} = 1$
2. $lim_{x \to \infty}{(1 + \frac{1}{x})^{x}} = e$
柯西极限存在准则：数列 $\{a_n\}$ 收敛的充分必要条件是，对给定的任意正数 $\epsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $m > N, n > N$ 时，有 $|a_n - a_m| < \epsilon$

第七节无穷小的比较

无穷小之比的各种不同情况，反应了不同的无穷小趋于零的快慢程度
1. 如果 $lim\frac{\beta}{\alpha} = 0$ ，那么称 $\beta$ 为比 $\alpha$ 高阶无的穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$
2. 如果 $lim\frac{\beta}{\alpha} = \infty$ ，那么称 $\beta$ 时比 $\alpha$ 低阶的无穷小
3. 如果 $lim\frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$ ，那么称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小
4. 如果 $lim\frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0$ ，那么称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小
5. 如果 $lim\frac{\beta}{\alpha} = 1$ ，那么称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$
常用的等价无穷小
- 时
  - $\sqrt[n]{1+x} \sim {\frac{1}{n}x}$
  - $sinx \sim x$
  - $tanx \sim x$
  - $arcsinx \sim x$
  - $1 - cosx \sim \frac{1}{2}x^2$
设 $\alpha \sim \widetilde{\alpha}$ ， $\beta \sim \widetilde{\beta}$ ，且 $lim{\frac{\widetilde{\alpha}}{\widetilde{\beta}}}$ 存在，则 $lim{\frac{\alpha}{\beta}} = lim{\frac{\widetilde{\alpha}}{\widetilde{\beta}}}$
无穷小具有以下性质：
- 自反性： $\alpha \sim \alpha$
- 对称性：若 $\alpha \sim \beta$ ，则 $\beta \sim \alpha$
- 传递性：若 $\alpha \sim \beta$ ， $\beta \sim \gamma$ ，则 $\alpha \sim \gamma$

第八节函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

增量 $\Delta{u}$ 是变量终值 $u_t$ 与初值 $u_0$ 的差，即 $\Delta{u} = u_t - u_0$ ，它可以为正或者为负，也可以为零
函数连续的定义：
- 设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，如果 $lim_{\Delta{x} \to 0}{f(x_0+\Delta{x}) - f(x_0)} = 0$ ，那么称函数在点 $x_0$ 处连续
- 设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，如果 $lim_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$ ，那么称函数在点 $x_0$ 处连续

二、函数的间断点

无穷间断点：函数在点 $x_0$ 处没有定义，且该点的极限存在且趋近于无穷大
振荡间断点：函数在点 $x_0$ 处没有定义，且在该点没有极限
可去间断点：函数在点 $x_0$ 处没有定义，但是极限存在，趋于某个确定值
跳跃间断点：函数在点 $x_0$ 处左右极限存在但不相等
第一类间断点：左右极限都存在（未要求是否相等）
第二类间断点：除第一类间断点

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、反函数与复合函数的连续性

三、初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

第十节闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数，一定有界，且一定能取得它的最大值和最小值

二、零点定理与界值定理

零点定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a) * f(b) < 0$ ），则在开区间 $(a,b)$ 上至少存在一点 $\epsilon$ ，使得 $f(\epsilon) = 0$
界值定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且在这个闭区间的端点取不同的函数值，即 $f(a) = A, f(b) = B, A \neq B$ ，则对于任意一个在 $A, B$ 之间的数 $C$ ，在开区间 $(a,b)$ 上，至少存在一点 $\epsilon$ ，使得 $f(\epsilon) = C$

三、一致连续性

一致连续性：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对任意给定的正数 $\epsilon$ ，总存在证书 $\delta$ ，使得对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1$ ， $x_2$ ，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$ ，那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续
一致连续性定理：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续

《高等数学》上册 第一章 函数与极限

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数