NC17621 管道取珠(模型转换+DP)

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题意：
$有两个管道，管道1有n个球，管道2有m个球$
$球有A和B两种颜色$
$从A或B分别取球，可能有C(n+m,n)种方案$
$这些方案中可能有取出球序列相同的$
$假设总共有k种不同的球序列，a_i为每种的方案数$
$那么\sum_{i=1}^k a_i=C(n+m,n)$
$求\sum_{i=1}^k a_i^2~mod ~1024523$
题解：
$n,m<=500$
$求\sum_{i=1}^k a_i可以直接得出$
$但是要求求的结果是\sum_{i=1}^k a_i^2$
$如果这道题(n+m)比较小，可以考虑二进制枚举$
$对于每种进行平方求和，但是这里n，m太大，肯定不够用$
$所以我们就可以把问题转化$
$一般对于k次方，你就可以把他转化成k个人玩这个游戏$
$就比如这道题，是两次方，所以转化成2个人玩这个游戏$
$然后求这两个人序列相同的方案数$
$第一个拿到这个序列的方案数是a_i,第二个人是b_i$
$那么两个人同时拿到这个序列的方案数就是a_i*b_i$
$对于这道题中，游戏相同，初始相同，所以a_i==b_i$

$所以现在需要考虑的就是2个人玩这个游戏序列相同的方案数$
$这样就很明显了，应该是用dp来求$
$然后开始构建dp的模型$
$状态应该就是两个人各自从两个管道拿的球序列相同的方案$
$dp[i][j][k][l]表示第一个人从管道1拿i个，管道2拿j个$
$第二个人从管道1拿k个，管道2拿l个两人序列相同的方案$
$但是四维DP不论时间空间都不允许$
$考虑一下降维，我们会发现，两个人序列相同，拿的个数肯定一样$
$所以i+j==k+l，那么就可以去掉l这一维$

$然后考虑状态转移，由于是拿的个数$
$我们考虑的应该是往下一个状态转移$
$如果第一个人管道1（管道2）的当前球和第二个人管道2的当前球一样$
$那么就可以让这两个人分别拿相同球，并得到当前状态的贡献$
$这样就可以形成状态转移（详细见下代码）$

$然后可以看到，这个递推永远是往下一个状态转移$
$也就是球数增长的方向，不需要前一步的值$
$这样的话，对于最外层循环那一维，就可以使用滚动数组$

$最后得到dp[n][m][n]即可$

AC代码

/*
    Author:zzugzx
    Lang:C++
    Blog:blog.csdn.net/qq_43756519
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int mod=1024523;
//const int mod=998244353;
const double eps = 1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
const int maxn=1e6+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
const int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};

int n,m;
int dp[2][510][510];
string a,b;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    cin>>a>>b;a='.'+a,b='.'+b;
    dp[0][0][0]=1;
    int cur=0;
    for(int i=0;i<=n;i++,cur^=1)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=n;k++){
                int l=i+j-k;
                int &x=dp[cur][j][k];
                if(l<0||l>m)continue;
                if(a[i+1]==a[k+1])dp[cur^1][j][k+1]=(dp[cur^1][j][k+1]+x)%mod;
                if(a[i+1]==b[l+1])dp[cur^1][j][k]=(dp[cur^1][j][k]+x)%mod;
                if(b[j+1]==a[k+1])dp[cur][j+1][k+1]=(dp[cur][j+1][k+1]+x)%mod;
                if(b[j+1]==b[l+1])dp[cur][j+1][k]=(dp[cur][j+1][k]+x)%mod;
                x=0;
            }
    cout<<dp[cur][m][n];
    return 0;
}