Chap 10 环与理想 - 理想

• 10.5 理想和商环

  • • 10.5.1 理想

      • 定义 10.5.1 左理想 右理想 理想
      • 例 10.5.1 平凡理想
      • 定理 10.5.1
      • 定理 10.5.2 多个理想的交集
      • 定义 10.5.2 X生成的（左）理想 生成元 有限生成的 主理想
      • 定理 10.5.3 < X >中元素的显示表示
      • 主理想环
      • 定理 10.5.4
      • 理想的运算 和理想 积理想
      • 定理 10.5.5
      • 定理 10.5.6

    • 10.5.2 商环

      • 定理 10.5.7 商环R/Ⅰ的构造
      • 商环

    • 10.5.3 环同态分解定理

      • 定理 10.5.8 同态分解定理
      • 自然同态
      • 定理 10.5.9

  • 10.6 素理想

    • • 定义 10.6.1 素理想
      • 定理 10.6.1
      • 定理 10.6.2
      • 定义 10.6.2 极大（左）理想
      • 定理 10.6.3
      • 定理 10.6.4
      • 定理 10.6.5
      • 定理 10.6.6
      • 定理 10.6.7

  • 10.7 习题

  • 思考题

    • 4 理想

10.5 理想和商环

10.5.1 理想

设R是一个环,I是R的子环,则Ⅰ是R的正规子群,从而有商群R/I = {a+l |a∈ R}。人们自然希望R/Ⅰ构成一个环。为此,要对子环Ⅰ作进一步的要求,即要求Ⅰ为理想。

定义 10.5.1 左理想 右理想 理想

例 10.5.1 平凡理想

定理 10.5.1

证明

定理 10.5.2 多个理想的交集

根据定理10.5.2,人们可给出一个非空子集X生成一个理想的表述,即包含X的最小理想。

证明

定义 10.5.2 X生成的（左）理想 生成元 有限生成的 主理想

定理 10.5.3 < X >中元素的显示表示

证明

主理想环

定理 10.5.4

证明 主理想环

推论

证明

理想的运算 和理想 积理想

定理 10.5.5

证明

定理 10.5.6

证明

10.5.2 商环

定理 10.5.7 商环R/Ⅰ的构造

证明

商环

10.5.3 环同态分解定理

定理 10.5.8 同态分解定理

证明

自然同态

定理 10.5.9

证明

10.6 素理想

本节将讨论素理想。

先研究整环Z中由素数生成的理想及其具有的性质。

定义 10.6.1 素理想

定理 10.6.1

证明 素理想

定理 10.6.2

证明 整环 素理想

定义 10.6.2 极大（左）理想

定理 10.6.3

证明

定理 10.6.4

证明 极大理想

定理 10.6.5

证明 素理想

定理 10.6.6

证明 域 极大理想

定理 10.6.7

证明 真理想 极大理想 单同态 域

10.7 习题

思考题

4 理想