1. 四个基本子空间

  • 行空间 C ( A T ) C(A^T) C(AT)，一个 R n R^n Rn 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为 r r r
  • 列空间 C ( A ) C(A) C(A)，一个 R m R^m Rm 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为 r r r
  • 零空间 N ( A ) N(A) N(A)，一个 R n R^n Rn 的子空间，由所有 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解的线性组合构成，维数为 n − r n-r n−r
  • 左零空间 N ( A T ) N(A^T) N(AT)，一个 R m R^m Rm 的子空间，由所有 A T y = 0 A^Ty=0 ATy=0 或者 y T A = 0 T y^TA=0^T yTA=0T 的解的线性组合构成，维数为 m − r m-r m−r

2. R R R 的四个基本子空间

假设 A A A 的最简行阶梯形式为 R R R，我们可以很容易地从 R R R 找到四个子空间。

矩阵 R R R 中有两个主元，因此其秩为 2。

行空间的维数等于秩，为 2，其中一个基可以取 R R R 的前两行。

列空间的维数等于秩，为 2，主元所在的列为第一列和第四列，因此其中一个基为 R R R 中对应的两列。

零空间的维数等于 n − r n-r n−r，为 3，有三个自由变量，因此对应着三个特解，它们就是零空间的一个基。

左零空间寻找的是 R R R 的行的线性组合来产生一个零向量。

显而易见， y 1 y_1 y1​ 和 y 2 y_2 y2​ 必须为 0，而 y 3 y_3 y3​ 可以取任意值。左零空间的一个基为 (0, 0, 1)，维数为 m − r = 1 m-r=1 m−r=1。

2. A A A 的四个基本子空间

R R R 和 A A A 有着相同的行空间、维数 r r r 和基。

E A = R A = E − 1 R EA=R \quad A = E^{-1}R EA=RA=E−1R

由矩阵乘法可知， R R R 的每一行都是对 A A A 的行的线性组合，而且 A A A 的每一行也都是对 R R R 的行的线性组合。因此，消元只是改变了行，并没有改变行空间。

A x = 0 Ax=0 Ax=0 当且仅当 R x = 0 Rx=0 Rx=0，它们的 r r r 个主列都是不相关的，它们的列空间维数都为 r r r。

其中 A A A 的列可以看作是对 E − 1 E^{-1} E−1 的列的线性组合，因此 A A A 和 E − 1 E^{-1} E−1 有着相同的列空间。

R R R 和 A A A 有着相同的零空间、维数和基，因为消元并不改变方程组的解。

A A A 的左零空间维数为 m − r m-r m−r。

因为 R R R 的最后 m − r m-r m−r 行为全零行，也就是 E E E 中最后 m − r m-r m−r 行对 A A A 的行的线性组合产生了零向量，因此它们是左零空间的一个基。

获取更多精彩，请关注「seniusen」!