他转自：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6613379.html
反正是师哥的 转就完事了
-
Tarjan(u)
//marge和find为并查集合并函数和查找函数
-
{
-
for each(u,v) //访问所有u子节点v
-
{
-
Tarjan(v);
//继续往下遍历
-
marge(u,v);
//合并v到u上
-
标记v被访问过;
-
}
-
for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e
-
{
-
如果e被访问过;
-
u,e的最近公共祖先为find(e);
-
}
-
}
首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：
在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。
换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。
所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。
有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？
答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。
举个例子吧，如下图所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。 
这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？
通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般不会很小。
常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增
后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间，我个人认为较难理解。
有的题目是可以用线段树来做的，但是其代码量很大，时间复杂度也偏高，在O(n)~O(nlogn)之间，优点在于也是简单粗暴。
这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是我不会在线...)。
什么是Tarjan(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是O(n+q)。
Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。
下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：
1.任选一个点为根节点，从根节点开始。
2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。
3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。
4.合并v到u上。
5.寻找与当前点u有询问关系的点v。
6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。
遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。
下
-
void add(int u,int v,int w)
-
{
-
edge[cnt].to = v;
-
edge[cnt].next = head[u];
-
edge[cnt].w = w;
-
head[u] = cnt++;
-
}
个人感觉这样还是有很多人不太理解，所以我打算模拟一遍给大家看。
建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟！！
假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下：
1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树
设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；
设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0; 
下面开始模拟过程：
取1为根节点，往下搜索发现有两个儿子2和3；
先搜2，发现2有两个儿子4和5，先搜索4，发现4没有子节点，则寻找与其有关系的点；
发现6与4有关系，但是vis[6]=0，即6还没被搜过，所以不操作；
发现没有和4有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[4]=1；
表示4已经被搜完，更新f[4]=2，继续搜5，发现5有两个儿子7和8;
先搜7，发现7有一个子节点9，搜索9，发现没有子节点，寻找与其有关系的点；
发现8和9有关系，但是vis[8]=0,即8没被搜到过，所以不操作；
发现没有和9有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[9]=1；
表示9已经被搜完，更新f[9]=7，发现7没有没被搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；
发现5和7有关系，但是vis[5]=0，所以不操作；
发现没有和7有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[7]=1；
表示7已经被搜完，更新f[7]=5，继续搜8，发现8没有子节点，则寻找与其有关系的点；
发现9与8有关系，此时vis[9]=1，则他们的最近公共祖先为find(9)=5；
(find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
发现没有与8有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[8]=1；
表示8已经被搜完，更新f[8]=5，发现5没有没搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；
发现7和5有关系，此时vis[7]=1，所以他们的最近公共祖先为find(7)=5；
(find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
又发现5和3有关系，但是vis[3]=0，所以不操作，此时5的子节点全部搜完了；
返回此前一次搜索，更新vis[5]=1，表示5已经被搜完，更新f[5]=2；
发现2没有未被搜完的子节点，寻找与其有关系的点；
又发现没有和2有关系的点，则此前一次搜索，更新vis[2]=1；
表示2已经被搜完，更新f[2]=1，继续搜3，发现3有一个子节点6；
搜索6，发现6没有子节点，则寻找与6有关系的点，发现4和6有关系；
此时vis[4]=1，所以它们的最近公共祖先为find(4)=1;
(find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)
发现没有与6有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[6]=1，表示6已经被搜完了；
更新f[6]=3，发现3没有没被搜过的子节点了，则寻找与3有关系的点；
发现5和3有关系，此时vis[5]=1，则它们的最近公共祖先为find(5)=1；
(find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)
发现没有和3有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[3]=1；
更新f[3]=1，发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点，此时可以退出整个dfs了。
经过这次dfs我们得出了所有的答案，有没有觉得很神奇呢？是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢？
加个例题:
关于LCA的Tarjan算法详解可看这里
以下是根据算法自行写的模板代码：
vector模拟邻接表：
-
#include<iostream>
-
#include<cstdio>
-
#include<cstring>
-
#include<cmath>
-
#include<vector>
-
#include<queue>
-
#define eps 1e-8
-
#define memset(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
-
using
namespace
std;
-
typedef
long
long
int LL;
-
const int MAXL(1e4);
-
const int INF(0x7f7f7f7f);
-
const int mod(1e9+7);
-
int dir[
4][
2]= {{
-1,
0},{
1,
0},{
0,
1},{
0,
-1}};
-
int father[MAXL+
50];
-
bool is_root[MAXL+
50];
-
bool vis[MAXL+
50];
-
vector<
int>v[MAXL+
50];
-
int root;
-
int cx,cy;
-
int ans;
-
int Find(int x)
-
{
-
if(x!=father[x])
-
father[x]=Find(father[x]);
-
return father[x];
-
}
-
-
void Join(int x,int y)
-
{
-
int fx=Find(x),fy=Find(y);
-
if(fx!=fy)
-
father[fy]=fx;
-
}
-
-
void LCA(int u)
-
{
-
for(
int i=
0; i<v[u].size(); i++)
-
{
-
int child=v[u][i];
-
if(!vis[child])
-
{
-
LCA(child);
-
Join(u,child);
-
vis[child]=
true;
-
}
-
}
-
if(u==cx&&vis[cy]==
true)
-
ans=Find(cy);
-
if(u==cy&&vis[cx]==
true)
-
ans=Find(cx);
-
-
}
-
-
void init()
-
{
-
memset(is_root,
true);
-
memset(vis,
false);
-
int n;
-
scanf(
"%d",&n);
-
for(
int i=
0; i<=n; i++)
-
v[i].clear();
-
for(
int i=
1; i<=n; i++)
-
father[i]=i;
-
for(
int i=
1; i<n; i++)
-
{
-
int x,y;
-
scanf(
"%d%d",&x,&y);
-
v[x].push_back(y);
-
is_root[y]=
false;
-
}
-
scanf(
"%d%d",&cx,&cy);
-
for(
int i=
1; i<=n; i++)
-
{
-
if(is_root[i]==
true)
-
{
-
root=i;
-
break;
-
}
-
}
-
-
}
-
int main()
-
{
-
int T;
-
scanf(
"%d",&T);
-
while(T--)
-
{
-
init();
-
LCA(root);
-
cout<<ans<<
endl;
-
}
-
}
链式前向星写法：
-
#include<iostream>
-
#include<cstdio>
-
#include<cstring>
-
#include<cmath>
-
#include<vector>
-
#include<queue>
-
#define eps 1e-8
-
#define memset(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
-
using
namespace
std;
-
typedef
long
long
int LL;
-
const int MAXL(1e6);
-
const int INF(0x7f7f7f7f);
-
const int mod(1e9+7);
-
int dir[
4][
2]= {{
-1,
0},{
1,
0},{
0,
1},{
0,
-1}};
-
struct node
-
{
-
int to;
-
int next;
-
}edge[MAXL+
50];
-
int head[MAXL+
50];
-
int father[MAXL+
50];
-
bool vis[MAXL+
50];
-
bool is_root[MAXL+
50];
-
int n;
-
int cnt;
-
int cx,cy;
-
int ans;
-
int root;
-
-
-
int Find(int x)
-
{
-
if(x!=father[x])
-
father[x]=Find(father[x]);
-
return father[x];
-
}
-
-
void Join(int x,int y)
-
{
-
int fx=Find(x),fy=Find(y);
-
if(fx!=fy)
-
father[fy]=fx;
-
}
-
-
void add_edge(int x,int y)
-
{
-
edge[cnt].to=y;
-
edge[cnt].next=head[x];
-
head[x]=cnt++;
-
}
-
-
void init()
-
{
-
cnt=
0;
-
memset(head,
-1);
-
memset(vis,
false);
-
memset(is_root,
true);
-
scanf(
"%d",&n);
-
for(
int i=
0;i<=n;i++)
-
father[i]=i;
-
for(
int i=
1;i<n;i++)
-
{
-
int x,y;
-
scanf(
"%d%d",&x,&y);
-
add_edge(x,y);
-
is_root[y]=
false;
-
}
-
for(
int i=
1;i<=n;i++)
-
if(is_root[i]==
true)
-
root=i;
-
}
-
-
void LCA(int u)
-
{
-
for(
int i=head[u];~i;i=edge[i].next)
-
{
-
int v=edge[i].to;
-
LCA(v);
-
Join(u,v);
-
vis[v]=
true;
-
-
}
-
if(cx==u&&vis[cy]==
true)
-
ans=Find(cy);
-
if(cy==u&&vis[cx]==
true)
-
ans=Find(cx);
-
}
-
void solve()
-
{
-
scanf(
"%d%d",&cx,&cy);
-
LCA(root);
-
}
-
int main()
-
{
-
int T;
-
scanf(
"%d",&T);
-
while(T--)
-
{
-
init();
-
solve();
-
cout<<ans<<
endl;
-
}
-
}
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