【题解】P1029 最大公约数和最小公倍数问题

P1029 最大公约数和最小公倍数问题

方法一

要知道最大公约数和最小公倍数的乘积就是原两个数的积。
换成公式就是：
$x\ast y=gcd(x,y)\ast lcm(x,y)$x∗y=gcd(x,y)∗lcm(x,y)
本题中是要找到符合条件的
$P=gcd(x,y)$P=gcd(x,y)
$Q=lcm(x,y)$Q=lcm(x,y)
枚举i<sqrt(x*y)，如果x*y%i==0,那么若gcd(i,mul/i)==x就cnt+=2；
附奇怪的证明

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int x,y,mul,cnt;
int main()
{
    cin >> x >> y;
    if(x==y)cnt--;
    mul=x*y;
    for(int i=1;i*i<=mul;i++)
    {
        if(mul%i==0&&__gcd(i,mul/i)==x) cnt+=2;
    }
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

方法二

假设 $p=x0\ast k1$p=x0∗k1， $q=x0\ast k2$q=x0∗k2; $k1$k1与 $k2$k2一定互质，如果不互质就存在更大的最大公约数
又因为两个数的乘积等于他们的最大公约数和最小公倍数的乘积
所以 $p\ast q=x0\ast x0\ast k1\ast k2=x0\ast y0$p∗q=x0∗x0∗k1∗k2=x0∗y0
即 $y0=x0\ast k1\ast k2$y0=x0∗k1∗k2
将 $y0/x0$y0/x0，如果除不尽说明不存在这样的 $p$p与 $q$q
除尽了，至少有两对pq组合。
然后从 $x0$x0到 $sqrt\left(y0/x0\right)$sqrt(y0/x0)穷举，得出两个数 $k1$k1， $k2$k2，
若 $k1$k1与 $k2$k2互质，说明又是两对。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int x,y;
int Count=0;
int gcd(int a,int b)//欧几里得求最大公约数 
{
	if(b!=0)return gcd(b,a%b);
	return a;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&x,&y);
	if(x>y){
		int t=x;x=y;y=t;
	}
	if(y%x!=0)printf("0");//除不尽直接输出0 
	else{
		int n=y/x;
		int t=sqrt(n);
		Count+=2;//可以除尽至少就有两对 
		for(int i=x;i<=t;i++){
			if(n%i==0&&gcd(i,n/i)==1)Count+=2;//只要两个数互质 那么又算一对 
		}
		printf("%d",Count);
	}
	return 0;
}