题目:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。
解题思路:青蛙每一次跳跃只有两种选择:一是再跳1级阶梯到达第n级阶梯,此时小青蛙处于第n-1级阶梯;或者再跳2级阶梯到达第n级阶梯,此时小青蛙处于n-2级阶梯于是,n级阶梯的跳法总是依赖于前n-1级阶梯的跳法总数f(n-1)和前n-2级阶梯的跳法总数f(n-2).因为只有两种可能性,所以,f(n)=f(n-1)+f(n-2);
递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)很熟悉,就是斐波那契数列求和(Sn=2a(n)+a(n-1)-1)。
递归求法:
public class JumpFloor { public int JumpSolution1(int n) { if (n < 0) { return 0; } if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } return JumpSolution1(n - 1) + JumpSolution1(n - 2); } }递归求法简单易懂,但是会有重复的计算,占用内存空间。
备忘录算法(记忆搜索):
另一种备忘录算法,备忘录方法是动态规划方法的变形。与动态规划算法不同的是,备忘录方法的递归方式是自顶向下的,而动态规划算法则是自底向上的。计算采用递归方式,值计算出来之后将其保存起来以备它用。
可以事先准备一个Hashmap,每计算出一个结果之后,可以将结果放入哈希表中,下次进行递归计算的时候,现在map中查询这个递归是否已经计算过了。如果已经计算过了,就把值直接拿出来用即可。
import java.util.HashMap; public class JumpFloor2 { public static int JumpSolution2(int n, HashMap<Integer, Integer> map){ if (n < 0) { return 0; } if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } if (map.containsKey(n)){ return map.get(n); }else { int value = JumpSolution2(n - 1, map) + JumpSolution2(n - 2, map); map.put(n, value); return value; } }
斐波那契函数方法:
public class Solution { public int JumpFloor(int target) { int a=1,b=2,c=3; if(target==1 || target==2) return target; for(int i=2;i<target;i++) { c = a + b; a = b; b = c; } return c; } }动态规划:
public int climbStairs3(int n) { if ( n == 1) { return 1; } int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; dp[2] = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i -2]; } return dp[n]; }