题解 | 求和-NOIP2015普及组复赛B题

题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了 n 个格子，格子编号从 1 到 n 。每个格子上都染了一种颜色 color_i 用 [1,m] 当中的一个整数表示），并且写了一个数字 number_i 。

定义一种特殊的三元组： (x,y,z) ，其中 x,y,z 都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

1.x,y,z 是整数, x<y<z,y-x=z-y
2.color_x=color_z

满足上述条件的三元组的分数规定为 (x+z) x (number_x+number_z) 。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以 10,007 所得的余数即可。

输入描述:

第一行是用一个空格隔开的两个正整数 n 和 m,n 表纸带上格子的个数， m 表纸带上颜色的种类数。
第二行有 n 用空格隔开的正整数，第 i 数字 number 表纸带上编号为 i 格子上面写的数字。
第三行有 n 用空格隔开的正整数，第 i 数字 color 表纸带上编号为 i 格子染的颜色。

输出描述:

共一行，一个整数，表示所求的纸带分数除以10,007所得的余数。

示例1

输入

6 2
5 5 3 2 2 2
2 2 1 1 2 1

输出

82

说明

纸带如题目描述中的图所示。
所有满足条件的三元组为：(1,3,5),(4,5,6)。
所以纸带的分数为 $(1+5)\times(5+2)+(4+6)\times(2+2)=42+40=82$ 。

示例2

输入

15 4
5 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 4
2 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

输出

1388

备注:

对于第1组至第2组数据，1≤n≤100,1≤m≤5；
对于第3组至第4组数据，1≤n≤3000,1≤m≤100；
对于第5组至第6组数据，1≤n≤100000,1≤m≤100000，且不存在出现次数超过20的颜***r /> 对于全部10组数据，1≤n≤100000,1≤m≤100000,1≤color_i≤m,1≤number_i≤100000。

解答

这题一看就是数学问题。求彩带分数和的式子需要运用一点数学思维化简（化简成计算机能快速算出的）
比如说：
设同奇偶且同一种颜色的每个格子中的格子编号为a,b,c,d,....，分数为aa,bb,cc,dd,...
由于这些格子中要两两计算分数并相加，因此我们来看看能不能把这个数学计算化简下

有两个格子满足条件时的分数和是

$(a+b)\times(aa+bb)$

$（=0\times(a\times aa+b\times bb)+(a+b)\times (aa+bb)）$

有三个格子满足条件时的分数和是

$(a+b)\times(aa+bb)+(a+c)\times(aa+cc)+(b+c)\times(bb+cc)=a\times aa+b\times bb+c\times cc+a\times (aa+bb+cc)+b\times(aa+bb+cc)+c\times(aa+bb+cc)$

【把上面那个式子的因式全都分解开，再合并一下，就能合成这样，没难度】

$=a\times aa+b\times bb+c\times cc+(a+b+c)\times (aa+bb+cc)（=1\times(a\times aa+b\times bb+c\times cc)+(a+b+c)\times(aa+bb+cc)） $

有四个格子满足条件时的分数和是

$(a+b)\times(aa+bb)+(a+c)\times(aa+cc)+(a+d)\times(aa+dd)+(b+c)\times(bb+cc)+(b+d)\times(bb+dd)+(c+d)\times(cc+dd)$

$=2\times(a\times aa+b\times bb+c\times cc+d\times dd)+a\times(aa+bb+cc+dd)+b\times(aa+bb+cc+dd)+c\times(aa+bb+cc+dd)+d\times(aa+bb+cc+dd)$

$=2\times(a\times aa+b\times bb+c\times cc+d\times dd)+(a+b+c+d)\times(aa+bb+cc+dd)$

相信接下来大家已经发现规律了：
正常的像 $(a+b+c+...)\times(aa+bb+cc+...)$ 这样的因式的增项就不说了，主要是注意每多一个格子满足条件时，每个格子就多加一次自身的编号和数字 $（(?)\times(a\times aa+b\times bb+...)$
因此用数（哲♂）学做法：
设ci为格子颜色，j为0时表示这些三元组的x,z均为偶数，j为1时则均为奇数。
设之前出现过的与之同奇偶p同颜色ci的格子数设为cnt[ci][p]，
格子序号和color[ci][0][p]，格子数字和color[ci][1][p]，格子序号与数字之积之和为color[ci][2][p]。
当所有格子（所有颜色的格子）满足条件时，分数和为

 for(i=1;i<=m;i++)
             for(j=0;j<=1;j++){
                 sum+=color[i][0][j]*color[i][1][j]+((cnt[i][j]-2)*color[i][2][j]);
                 sum%=10007;
             }

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#define maxn 100005
using namespace std;
long long color[maxn][3][2],number[maxn],cnt[maxn][2],n,m,sum;
/*
之前出现过的与之同奇偶p同颜色ci的格子数设为cnt[ci][p]，
格子序号和color[ci][0][p]，格子数字和color[ci][1][p]，格子序号与数字之积之和为color[ci][2][p]
*/
int main(){
    int cor,i,j;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&number[i]);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&cor);
        cnt[cor][i&1]++;
        (color[cor][0][i&1]+=i)%=10007;
        (color[cor][1][i&1]+=number[i])%=10007;
        (color[cor][2][i&1]+=number[i]*i)%10007;
    }
    for(i=1;i<=m;i++)
        for(j=0;j<=1;j++){
            sum+=(color[i][0][j]*color[i][1][j])%10007+((cnt[i][j]-2)*color[i][2][j])%10007;
            sum%=10007;
        }
    printf("%lld\n",sum);
    system("pause");
    return 0;
}

来源：Kaori