题目的主要信息：

• 输入一个长度为n的整型数组array，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组，找到一个具有最大和的连续子数组的和
• 不存在空数组，
• 基本要求：时间复杂度：$O(n)O(n)$，空间复杂度：$O(n)O(n)$
• 进阶要求：时间复杂度：$O(n)O(n)$，空间复杂度：$O(1)O(1)$

方法一：动态规划

具体做法：

可以用dp数组表示以下标i为终点的最大连续子数组和，则每次遇到一个新的数组元素，连续的子数组要么加上变得更大，要么它本身就更大，因此状态转移为$dp[i]=max(dp[i-1]+array[i],array[i])dp[i]\; =\; max(dp[i\; -\; 1]\; +\; array[i],\; array[i])$，每次只要比较取最大值即可。

class Solution {
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        vector<int> dp(array.size(), 0); //记录到下标i为止的最大连续子数组和
        dp[0] = array[0];
        int maxsum = dp[0];
        for(int i = 1; i < array.size(); i++){
            dp[i] = max(dp[i - 1] + array[i], array[i]); //状态转移：连续子数组和最大值
            maxsum = max(maxsum, dp[i]); //维护最大值
        }
        return maxsum;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)O(n)$，一次遍历
• 空间复杂度：$O(n)O(n)$，动态规划辅助数组长度为$nn$

方法二：动态规划空间优化

具体做法：

方法一虽然时间复杂度达到了进阶要求，但是使用$O(n)O(n)$的空间。

我们注意到动态规划在状态转移的时候只用到了$i-1i-1$的信息，因此我们可以使用两个变量迭代来代替数组，状态转移的时候更新变量y，该轮循环结束的再更新x为y即可做到每次迭代都是上一轮的dp。

class Solution {
public:
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        int x = array[0];
        int y = 0;
        int maxsum = x;
        for(int i = 1; i < array.size(); i++){
            y = max(x + array[i], array[i]); //状态转移：连续子数组和最大值
            maxsum = max(maxsum, y); //维护最大值
            x = y; //更新x的状态
        }
        return maxsum;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)O(n)$，一次遍历
• 空间复杂度：$O(1)O(1)$，常数级变量，无额外空间