简介

欧拉回路就是给一个图，存在一条回路把所边经过且每条边只经过一次。

存在欧拉回路的条件

  • 对于无向图：

存在欧拉回路的条件：每个点的度都为偶数；

存在欧拉路的条件：有且只有两个点的度为一，且这两个点分别为起点和终点；

  • 对于有向图：

存在欧拉回路的条件：每个点出度等于入度；

存在欧拉路的条件：存在一个点出度比入度多一作为起点，存在一点入度比出度多一作为终点，其余点出度等于入度；
一句话就是：一笔画问题能成立的条件：有2个奇点或没有奇点（奇点指该点度数为奇数）

套圈法

判断是否存在欧拉回路很好判断，那怎么求欧拉回路呢？
我们采用套圈法，dfs回溯的时候才把边倒着记录。为什么要这样呢？
以奇点作为起始点（如果没有奇点就任意一个点）作为起点开始遍历整个图。
假如我们随便走，有一条边加一条边，最后回到起始点，会形成一个环。但是我们不能保证没有其他环还没遍历到！
下面拿个图演示一波：

红色为起始点，蓝色为有向边，随便走的话我们可能走完左边的圈就不走了，右边的圈还没走。
而套圈法则是，如果我们遇到分叉点就都走一走，这样能保证每条边都走过，最后倒着加边即可。
（各位可以模拟一下回溯的过程，回溯到两环交点时，有边没走过就会继续走的）
注意每条边只走一次，每次走完一条边我们要标记走过，这样就能保证复杂度。
复杂度嘛，每条边只走一次，复杂度是 O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)。

下面以洛谷P1127词链（这是链接）一题作为例题。

ps:这题不是欧拉回路，是欧拉路，不过原理一样


代码如下

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
struct node{
	int a, b;
	char s[25];
	bool operator < (const node & A) const{
		return strcmp(s, A.s) < 0;
	}
}d[1005];
int du[1005], cnt, v[1005], x[1005], ans[1005], p, m;
void dfs(int a, int id){
	int i = x[a], b;
	while(d[i].a == a){
		if(!v[i]){
			v[i] = 1;
			dfs(d[i].b, i);
		}
		i++;
	}
	ans[++m] = id;
}
int main(){
	int i, j, n, a, b, c;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%s", d[i].s);
		c = strlen(d[i].s);
		d[i].a = d[i].s[0];
		d[i].b = d[i].s[c-1];
	}
	sort(d + 1, d + i);
	for(i = 1; i <= n; i++){
		du[d[i].a]++, du[d[i].b]++;
	}
	for(i = 'z'; i >= 'a'; i--) if(du[i] & 1) cnt++, p = i;
	if(cnt == 1 || cnt > 2){
		printf("***");
		return 0;
	}
	if(!p) p = d[1].a;
	for(i = n; i >= 1; i--) x[d[i].a] = i;
	dfs(p, x[p]);
	if(m != n + 1){
		printf("***");
		return 0;
	}
	for(i = m-1; i > 1; i--) printf("%s.", d[ans[i]].s);
	printf("%s", d[ans[1]].s);
	return 0;
}