牛客多校第一场总结

1 A Monotonic Matrix

先备知识
LGV 算法 (Lindström–Gessel–Viennot lemma)


求以上矩阵的行列式,其中 e(a,b) 是a-b的方法数,带入就能求(a1,a2,…an) - (b1,b2,…bn) 的所有不相交路径的种数

考虑01和12的分界线
是(n, 0)到(0,m)的两条不相交(可重合)路径
分界线以及分界线以上的点是一种,分界线下是一种
平移其中一条变成(n-1, -1)到(-1,m-1);
变成(注意下面图片有个m-1写成n-1了,懒癌不想改了)
起点 { a 1 , a 2 } = { ( n , 0 ) , ( n 1 , 1 ) } \
终点 { b 1 , b 2 } = { ( 0 , m ) , ( 1 , m 1 ) }

做法 2 http://oeis.org/(网络赛)
仔细找规律
原题地址https://codeforces.com/problemset/problem/348/D
关于LGV的博客
https://www.cnblogs.com/jszkc/p/7309468.html
http://www.cnblogs.com/joyouth/p/5607781.html

2 B Symmetric Matrix

把构造的邻接矩阵变成图结构,通过观察规律递推求出公式
把矩阵和图联系起来(双向)
对邻接矩阵以及题目特殊要求的敏感性
http://oeis.org/(网络赛)

  1. 题意
    求满足下面条件的n*n的矩阵的个数

    2.分析
    仔细分析转换成图的邻接矩阵,可知n个点组成若干个环的方案种数
    边界条件
    d p [ 0 ] = 1 , d p [ 1 ] = 0 , d p [ 2 ] = 1

    下面去递推式,dp[n] 表示节点数为n时的方案数
  2. 前n-1个球取出来一个和第n个球组成一个环
    ( n 1 ) d p [ n 2 ]
  3. 前n-1个球取出来k个,剩下的n-k-1个旧求和第n个球组成一个环
    <munderover> i = 0 i < n 2 </munderover> C ( n 1 , k ) ( n k 1 ) ! / 2 d p [ i ]

    其中(n-k-i)个旧球 和一个新球组成环的种类的个数是(n-k-1)!,除以2是要去除对称

d p [ n ] = ( n 1 ) d p [ n 2 ] + <munderover> i = 0 i < n 2 </munderover> C ( n 1 , k ) ( n k 1 ) ! / 2 d p [ i ]

d p [ n ] = ( n 1 ) d p [ n 2 ] + <munderover> i = 0 i < n 2 </munderover> ( n 1 ) ! / k ! / 2 d p [ i ]

化简得
d p [ n ] = ( n 1 ) d p [ n 2 ] + ( n 1 ) ( n 2 ) / 2 d p [ n 3 ] + ( n 1 ) ( d p [ n 1 ] ( n 2 ) d p [ n 3 ] )
  1. 参考代码
             B.cpp

3 C Fluorescent 2

1 概率论期望的求解
题意: 有m个灯,n个开关,每一个开关都可以控制多个灯反转
用一个n*m ( C i j ) 的矩阵表示,这n个开关可以选择选或者不选,2^n种方法
用f(S) 表示用S这种方法最后灯还亮着的的个数

s u m ( f ( S ) 3 )

分析: 用 x i 表示i这个灯最后的状态
那么
f ( S ) 3 = ( x 0 + x 1 + . . . x n 1 ) 3 = x i x j x j

s u m ( f ( S ) 3 ) = s u m ( x i x j x j ) = E ( x i x j x j ) 2 n = P ( x i x j x j == 1 ) 2 n

所以问题转变成了求任意 x i , x j , x k ,最后都亮着的概率和。
也即对于n*m矩阵的每一个列,任意选三个列,每一列异或和都为零的概率和。
根据线性代数秩的定义,先求出这个n*3矩阵的秩r,那么最后 x i x j x k 为1的概率就为 1 / 2 r ,这一点不好理解。先选出r个基向量,那么对于剩下的n-r个向量选或者不选,者r个基向量都可以选出一些和这些相同,即可由基向量组合成剩下的n-r个向量的异或和,那么总的异或就是0,符合条件。所以种类是 2 n r ,概率 2 n r / 2 n = 1 / 2 r
所以我们求出秩为0,1,3,4的个数,最后求和。
2. 参考代码 C.cpp

4. D Two Graphs

  • 看清楚数据范围
  • 根据榜单判断当前思路是否有问题,是否有更简单或者暴力试一发
  • 遇到新的概念不要慌,仔细审题
  • ————————
    1. 具体思路:
      暴力枚举所有可能的 ϕ ( ) 函数的所有情况 n ! 种情况,然后判断每一种情况是否能和G2图吻合,最重要的排除G1的自同构
  1. 参考代码 D.cpp

5 E Romovel

  1. 字符串删减,字符串匹配与动态规划

6 F Sum of Maximum

1 什么是拉格朗日多项式
大神博客
我的总结拉格朗日多项式及其应用
2 拉格朗日模板+ 本题代码

参考代码 F.cpp

7 G Dreyfus-Wagner

8 H

  1. 求最长路,向下求 down 和向上求 up 操作
  2. 斜率优化

9 I

后缀数组
题意:求一个字符串求所有不同构子串的个数,字符串仅有a,b,c
分析:比较本题与上一题,发现多了一个同构的限制,本字符串内的子串可能有同构的情况,首先想到的方法是除去同构,发现比较难实现,反其道而行之,枚举所有的同构情况,然后除以同构函数的个数6,就可以求出答案,注意特判单个字符的同构。

参考代码 I.cpp

10J

  1. 题意:
    求1-l,r-n这连个段中间不同数的个数

  2. 分析:
    树状数组的运用:将数组加倍,然后求区间(r,l+n)不同数

  3. 参考代码 I.cpp

参考代码 J.cpp