$山$山

题目描述见链接, 请使用 $O\left(NlogN\right)$O(NlogN) 的复杂度解决这道题 .

$最初想法$最初想法

首先发现答案一定是两条直线的交点 .

把所有直线按斜率从小到大排序, 然后得到一个类似上凸壳的东西, 尝试使用相邻直线的交点更新答案, 但是发现这样会出现交点在某条直线下方的情况 .

$正解部分$正解部分

考虑 二分答案, 二分出 $mid$mid 表示最小高度, 然后去检查每条直线是否能够被照到,
对每条直线, 按斜率 $k$k 分类讨论,

• $k\>0$k>0, 此时将 $mid$mid 带进方程, 得到 $x$x, 此时灯放在 $(-\infty ,x]$(−∞,x] 可以照亮该直线 .
• $k\&lt;0$k<0, 此时将 $mid$mid 带进方程, 得到 $x$x, 此时灯放在 $[x,\infty )$[x,∞) 可以照亮该直线 .
• $k=0$k=0, 此时若 $mid\ge b$mid≥b, 则可以照亮 .

遍历所有直线, 得到左边界 $L$L 和右边界 $R$R, 若 $L\le R$L≤R, 说明存在高度为 $mid$mid 的灯满足条件 .

$实现部分$实现部分

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 5005;
const double eps = 1e-12;

int N;

int X[maxn];
int Y[maxn];

bool chk(double mid){
        double L = 0, R = 100005;
        for(reg int i = 2; i <= N; i ++){
                double k = (1.0*Y[i]-Y[i-1])/(1.0*X[i]-X[i-1]);
                double b = 1.0*Y[i] - k*X[i];
                double x = (mid - b) / k;
                if(k > eps) R = std::min(R, x); 
                else if(k < -eps) L = std::max(L, x);
                else if(mid-b < eps) return false;
        }
        return R-L > eps;
}

int main(){
        N = read();
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) X[i] = read(), Y[i] = read();
        double l = 0, r = 1000005, Ans = r;
        while(r-l > eps){
                double mid = (l + r)/2;
                if(chk(mid)) Ans = std::min(Ans, mid), r = mid - 0.0001;
                else l = mid + 0.0001;
        }
        printf("%.2lf\n", Ans);
        return 0;
}