第八章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

一、向量的概念

• 向量：具有大小和方向的量，书写中一般用加黑体或者正上方带箭头的变量表示，比如、。与之相对的是标量。
• 与起点无关的向量称为自由向量
• 向量相等：是指向量的大小和方向都相等，几何上理解为通过平移后能完全重合的两条向量
• 向量的模：向量的大小，数学符号表示为：、、。模等于1的向量叫做单位向量，一般用表示；模等于0的叫做零向量，一般用、表示
• 两向量的夹角： 起点相同或通过平移操作后起点相同的两个向量，它们的夹角，记作。规定，向量的夹角取值范围为

二、向量的线性运算

• 加法遵循三角形法则和平行四边形法则
  • 交换律：
  • 结合律：
• 向量与数的乘法
  • 设，则向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使
  • 结合律、分配律
• 向量相加以及数量相乘统称为向量的线性运算
• 空间直角坐标系：轴正方向符合右手准则
• 非零向量与三条坐标轴的夹角，，称为的方向角

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积

• 向量的数量积等于它们模的乘积再乘上它们夹角的余弦，即
  • 数量积：交换律、分配律、结合律

二、两向量的向量积

• 向量积：，的模等于，其中为它们的夹角。的方向垂直于和所决定的平面，指向按右手准则来确定。
  • 向量积的运算：
    • 
    • 分配律：
    • 结合律

三、向量的混合积

第三节、平面及其方程

一、曲面方程与空间曲线方程的概念

二、平面的点法式方程

• 法向量：垂直于平面的向量
• 点法式方程要素：
  • 法向量、平面上一点：
  • 平面上三点：取任意两点一共组成两条向量，然后利用向量积求出法向量，再同上

三、平面的一般方程

• 
  • 一个法向量：
  • 若，平面过原点
  • 若，平行于轴；若，平行于轴；若，平行于轴
  • 若，平行于平面；同理

四、两平面的夹角

• 两平面的法线的夹角（通常指锐角或者直角）称为两平面的夹角

第四节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

空间直线可看成是两个平面的交线，因此

二、空间直角坐标的对称式方程与参数方程、

• 如果一条向量平行于直线，那么这个向量就叫做这条直线的方向向量
  • 两向量平行，对应坐标成比例：，该方程称为直线的对称式方程或点向式方程。

三、两直线的夹角

• 两直线方向向量的夹角（通常取锐角或直角）叫做两直线的夹角。
  • 

四、直线与平面的夹角

• 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为平面的夹角。规定当直线与平面垂直时，夹角为
  • 

五、杂例

第五节 曲线及其方程

一、曲线研究的基本问题

两个基本问题：

• 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这个曲面的方程
• 已知一个关于的方程时，研究这个方程所表示的曲面的形状

二、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

• 旋转单叶双曲面：绕轴
• 旋转双叶双曲面：绕轴

三、柱面

一般地，直线沿定曲线平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

四、二次曲面

把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面。

• 二次曲面一共九种
  • 椭圆锥面
  • 椭球面
  • 单叶双曲面
  • 双叶双曲面
  • 椭圆抛物面
  • 双曲抛物面（马鞍面）
  • 椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面

第六节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看称两个曲面的交线，因而方程组，也叫做空间曲线的一般方程组。

二、空间曲线的参数方程

• 螺旋线：
• 曲面的参数方程

三、空间曲线在坐标面上的投影

• 理解空间曲线的一般方程