P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 ，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 ，使得 。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

6

输出 #1

6

说明/提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 ）。

先输入一个正整数 （），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈，原题面的问题见本贴。

解题思路

递推，把已有的当作前缀

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using u128 = unsigned __int128;
#define lowbit(x) = ((x) & -(x))
#define rep_0(a, b, c) for (int a = b; a < c; a++)
#define rep_1(a, b, c) for (int a = b; a <= c; a++)
#define per(a, b, c) for (int a = b; a >= c; a--)
using namespace std;
void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<i64> a(n + 1, 0);
    a[1] = 1;
    a[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++)
    {
        a[i] += 1;
        int j = i;
        for (int k = 1; k <= j / 2; k++)
        {
            a[i] += a[k];
        }
    }
    cout << a[n] << endl;
    return;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t = 1;
    // cin >> t;

    while (t--)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}