基础数论
- 整除
- GCD&LCM
- 拓展欧几里得算法
- 模运算
- 同余
- 同余式(一次同余式)
- 逆元
- 素数筛
- 唯一分解定理
- 欧拉函数
- 中国剩余定理
整除
a%b==0
可以写作：b|a
带余数除法：
对任意整数a,b>0,存在唯一的数对q,r,使得a=bq+r（0<=r<|b|）成立，且q,r是唯一的。b是商，这里的余数 r 称为最小非负余数。
余数的性质：
任一整数被正整数 a 除后，余数一定是且仅是 0 到 a-1 这 a 个数中的一个。
相邻的 a 个整数被正整数 a 除后，恰好取到上述 a 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 a 整除。
性质：
- 若a|b < - > -a|b < - > a|-b < - >|a|||b|
- 若a|b，b|c ->a|c
- 若a|b,a|c -> a|(bx+cy) 其中x,y为任意整数
- 若a|b -> am|bm 其中m为非零整数
- 若a|b，b|a -> b=±a <-> |b|=|a|
- 若a|bc，且a与c互质，则a|b
- 若a|b，a|c，且b与c互质，则a|bc
- 若a|b，c为任意整数，则b|ac
GCD&LCM
最大公因数，gcd(a,b)常记为(a,b)
最小公倍数，lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b);常记为[a,b]
辗转相除法：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
更相减损术：gcd(a,b)=gcd(b,a-b)
d|a,d|b 等价于 d|(a-b),d|b
证：
a=d*q1 ,b=d*q2
a-b=d*(q1-q2)
所以d|(a-b)
int gcd_1(int a,int b){
return a%b==0?b:gcd_1(b,a%b);
}
int gcd_2(int a,int b){
return b==0?a:gcd_2(b,a%b);
}
int gcd(int a,int b){
while(a!=b){
if(a>b) a-=b;
else b-=a;
}
return a;
}
扩展欧几里得算法
裴蜀定理：设a,b是不全为0的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd(a,b);
//二元一次方程组ax+by=c 有解的充要条件为gcd(a,b)|c
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0) {
x=1;
y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return d;
}
void EX_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)//递归出口
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
int x1, y1;
Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);
x = y1;
y = x1-(a/b)*y1;
}
应用：
- 方程ax+by=c的求解
- 同余式的求解
- 逆元的求解以及除法取模的计算
模运算
性质：
1.取模运算：a%p(a mod p),表示a除以p的余数
2.运算：
(a + b) % p = ( a%p + b%p ) % p
(a - b ) % p = ( a%p - b%p ) % p
(a * b) % p = ( (a%p) * (b%p) ) % p
(a ^ b ) % p = ( (a%p)^ b ) % p
//除法的取模需要逆元，不能进行类似操作。
//模运算满足结合律、交换律、分配律
3.a≡b(mod n)表示a和b模n同余，即a和b除以n的余数相等
-5 mod 3 = -2 :这是因为在a,p异号的时候，c++遵循使商尽可能大的原则，选取了-1作为商。所以我们平时计算减法时，为防止要取mod的数字为负数，多加上一个p:
(a - b ) % p = ( ( a % p ) - ( b % p ) + p ) % p;
同余
a%b==c%b 可以说a≡c(mod b);a,c对mod b同余
第二定义：若 m | ( a-b )，a,b对mod m同余
性质：
(1)若a≡b(mod m)，则(a,m)=(b,m) [欧几里得算法]
(2)若a≡b(mod m)，则ak≡bk(mod m)
(3)若a≡b(mod m)，且a=a|d,b=b|d, (d,m)=1，则ad≡bd(mod m);
同余式
若用f(x)表示系数为整数的多项式，又设m是一个正整数，则f(x)≡0(mod m)叫做模m的同余式。
//ax+by=gcd(a,b)
一次同余式：ax≡b(mod m) 使同余式成立的x叫做该式的一个解
ax≡b(mod m) 与ax+my=b等价
定理1：一次同余式（又叫线性同余方程）有解的充要条件是 (a,m)|b。
证：
一次同余式可写成：ax=my+b => ax-my=b
因y无关紧要，令y=-y,得ax+my=b => (a,m)|b [裴蜀定理]；
证毕；
定理2：若gcd(a,b)=1 ，且 x0、y0 为方程 ax+by=c 的一组解，则该方程的任意解可表示为：x=x0+bt，y=y0-at, 且对任意整数 t 都成立。
根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解x=(x mod t + t ) mod t ，其中 t=( b / gcd(a,b))。
逆元(Day 1 )
方程ax≡1(mod m)的一个解x,称为x为a模m的逆。
//(a,m)=1;
设k是b的逆元 <=> bk mod m = 1；
逆元的求法：
(1)拓展欧几里得解方程
exgcd是求解不定方程ax+by=c的解，由逆元定义，a*inv(a)≡1(mod m)
即a* inv(a)+m*y=1的方程的解，由于a,m已知，根据exgcd可求出inv(a)
只有gcd(a,m)=1时，才有逆元
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0) {
x=1;
y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return d;
}
int getinv(int a,int mod){
//a在mod下的逆元
int x,y;
int d=exgcd(a,mod,x,y);
return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
(2)费马小定理：p是素数，gcd(a,p)=1
int quickpow(int a,int p,int mod){
//快速幂
int t=1,tt=a%mod;
while(p){
if(p&1) t=t*tt%mod;
tt=tt*tt%mod;
p>>=1;
}
return t;
}
int getInv(int a,int mod){
return quick(a,mod-2,mod);
}
线性逆元
线性求1~n所有数关于p的逆元
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
ll inv[N],mod;
void init(int n){
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
inv[i] = ( mod - (mod/i)) * inv[mod % i] % mod;
//线性递推
}
}
素数筛：
**素数记数函数：**小于等于x的素数的个数，用F(x)表示，随着x的增大，有这样近似的结果：
F(x) ~ x / ln(x)
利用素数来解决问题，如何求出一定范围内的所有素数
int pri[maxn],cnt=0;
void getprime(int n){
//暴力求法
for(int i=2;i<=n;i++){
int flag=1;
for(int j=2;j<i;j++){
if(i%j==0){
flag=0;break;}
}
if(flag) pri[cnt++]=i;
}
}
埃氏筛法
思想：素数的倍数一定不是素数
局限：每个合数会被多次筛去：24会被2，3筛去
const int maxn=100;
bool isprime[maxn];
int pri[maxn],cnt=0;
void getprime(int n){
for(int i=1;i<=n;i++) isprime[i]=1;
isprime[0]=isprime[1]=0; //初始化
for(int i=2;i<=n;i++){
//枚举n
if(isprime[i]){
//判断是否为素数的倍数
for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
isprime[j]=0; //更改标记
}
}
}
for(int i=2;i<=n;i++){
if(isprime[i])
pri[cnt++]=i;
}
}
线性筛法（欧拉筛）：一种可以保证所有数只被筛去一次的筛法，时间复杂度为O(n)。
欧拉筛的难点就在于对if (i % prime[j] == 0)这步的理解，当i是prime[j]的整数倍时，记 m = i / prime[j]，那么 i * prime[j+1] 就可以变为 (m * prime[j+1]) * prime[j]，这说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍，不需要再进行标记(在之后会被 prime[j] * 某个数 标记)，对于 prime[j+2] 及之后的素数同理，直接跳出循环，这样就避免了重复标记。
bool judge[maxn];//判断是否为合数
const int maxn=100;
int pri[maxn],cnt=0;
void getprime(int n){
for(int i = 2;i<=n;i++){
if(!judge[i])
pri[cnt++] = i; //记录素数
for(int j = 0;j<cnt;j++){
if(i*pri[j]>n)break; //判断是否越界
judge[i*pri[j]] = 1; //标记合数
if(i%pri[j]==0)break; //关键：当合数进入循环就退出，内层循环只进行一次，减少时间复杂度
}
}
}
区间素数筛
P1835 素数密度
typedef long long ll;
const int maxn = 1000005;
bool is_prime[maxn]; //偏移后判断素数的数组，脚标从0开始
bool is_prime_small[maxn]; //筛选[2,sqrt(b))中所有的素数
ll prime[maxn]; //记录区间中的素数
ll prime_num=0; //区间素数下标
//对区间[a,b)内的整数执行筛法，is_prime[i-a]=true --- 表示i是素数 注意这里下标偏移了a，所以从0开始。
void segment_sieve(ll a,ll b) {
for(ll i=0;i*i<b;++i) is_prime_small[i]=true; //对[2,sqrt(b))的初始化全为质数
for(ll i=0;i<b-a;++i) is_prime[i]=true; //对下标偏移后的[a,b)进行初始化
for(ll i=2;i*i<b;++i) {
if(is_prime_small[i]) {
for(ll j=2*i;j*j<b;j+=i) is_prime_small[j]=false; //筛选[2,sqrt(b));
//(a+i-1)/i得到最接近a的i的倍数，最低是i的2倍，然后筛选
for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i) is_prime[j-a]=false;
}
}
for(ll i=0;i<b-a;++i) //统计个数，prime_num 即为[a,b)区间素数个数，prime[]存储素数是哪些
if(is_prime[i]) prime[prime_num++]=i+a;
}
唯一分解定理
（算术基本定理）：任意大于1的整数可以表示成质数的乘积。
判断数字n的因子有哪些，只需要枚举到sqrt(n)即可
判断n范围内哪些数字能够成为因子，只需枚举到n/2即可
//唯一分解定理
const int maxn = 10000 + 7;
int prime[maxn],len,n,num; //prime:质数
int p[maxn],q[maxn]; //p:因子 q:幂次
bool judge[maxn];
void isPrime(){
//素数打表
len = 0;
memset(judge,0,sizeof(judge));
judge[1] = 1;
for(int i = 2;i<=maxn;i++){
if(!judge[i])
prime[len++] = i;
for(int j = 0;j<len;j++){
if(i*prime[j]>maxn)break;
judge[i*prime[j]] = 1; //标记不合法
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
void Split(int k){
//分解
memset(p,0,sizeof(p));
memset(q,0,sizeof(q));
for(int i = 0;i<len;i++){
while(k%prime[i]==0){
//能被分解
if(!p[num])p[num] = prime[i];
q[num]++;
k/=prime[i];
}
if(p[num])num++;
if(k==1)break;//退出条件是变为1
}
}
int main()
{
isPrime();
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
num = 0;
Split(n);
printf("%d = ",n);
for(int i = 0;i<num;i++){
if(i!=0)printf("*");
printf("%d^%d",p[i],q[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
优化：
根据求因子条件，素数只枚举到prime[i]*prime[i]<=n ， 最后若n>1就说明还剩下一个一次方的素数。
原因：
若n%prime[i]==0，则n = prime[i] * q ， 然后我们把n里面的prime[i]因子除尽以后，n = 1* k ， n就变成了一个新的数字，因为我们的素数枚举是从小到大的，小的除尽了，如果k是一个合数，那么肯定能拆成素数乘积，而且这个素数是肯定>prime[i]的，也一定满足prime[j]prime[j] <=n是能继续拆的；另一方面，如果只剩下一个素数，就不会满足prime[j]*prime[j]<=n了，所以这种方法是可行的。
//优化：
//根据求因子条件，素数只枚举到prime[i]*prime[i]<=n ， 最后若n>1就说明还剩下一个一次方的素数
void Split(int k){
memset(p,0,sizeof(p));
memset(q,0,sizeof(q));
for(int i = 0;i<len&&prime[i]*prime[i]<=k;i++){
//判断条件变化
while(k%prime[i]==0){
if(!p[num])p[num] = prime[i];
q[num]++;
k/=prime[i];
}
if(p[num])num++;
}
if(k>1){
p[num] = k;q[num++]++;}//结尾判断
}
//直接分解法（不用素数打表）
void Split(int k){
memset(p,0,sizeof(p));
memset(q,0,sizeof(q));
for(int i = 2;i*i<=k;i++){
while(k%i==0){
if(!p[num])p[num] = i;
q[num]++;
k/=i;
}
if(p[num])num++;
}
if(k>1){
p[num] = k;q[num++]++;}
}
应用：
欧拉函数求互质
欧拉函数
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是 euler(n)*n/2;
//欧拉函数，在分解质因数的同时求得欧拉函数
//①直接求小于或等于n,且与n互质的数个数:
inline int euler_one(int n)
{
int ans = n;
for(int i = 2; i * i <= n; ++ i){
if(n % i == 0){
//合数
ans = ans / i * (i - 1); //公式
while(n % i == 0)n /= i; //n除因子改变n
}
}
if(n > 1)ans = ans / n * (n - 1); //还能分解一个质因子
return ans;
}
//②求[1,n]之间每个数的质因数的个数
首先，要明确一些性质，下面三条性质我们会在欧拉函数线性筛中使用到。
1.如果p为素数，则φ(p)=p-1；
2.若a为n的质因子，且(n%a==0&&(n/a)%a==0)，即如果a是n的多重质因子，则φ(n)=φ(n/a)*a；
3.若a为n的质因子，但(n%a==0&&(n/a)%a! =0)，即如果a是n的单质因子，则φ(n)=φ(n/a)*(a-1)；
//线性筛欧拉函数建立在线性筛素数的基础之上
void getPhi()
{
phi[1] = 1;//存欧拉函数值
cnt = 0;
for(int i = 1; i < MAXN; i++)
isprime[i] = 1;
for(int i = 2; i < MAXN; i++)
{
if(isprime[i])
{
prime[cnt++] = i; //记录素数
phi[i] = i - 1; //记录欧拉函数值 性质1
}
for(int j = 0; j<cnt&&prime[j]*i<MAXN; j ++) //素数筛
{
isprime[i*prime[j]] = 0; //合数
if(i%prime[j] == 0)
{
phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]);
//如果a是n的多重质因子，则φ(n)=φ(n/a)*a
break;
}
else
{
phi[i*prime[j]] = phi[i]*( prime[j] - 1 );
//即如果a是n的单质因子，则φ(n)=φ(n/a)*(a-1)
}
}
}
}
//如何求一个数约数的个数
void getDiv()
{
for(int i = 1; i < MAXN; i++)
isprime[i] = 1;
for(int i = 2; i < MAXN; i++)
{
if(isprime[i])
{
prime[cnt++] = i;
minp[i] = 1; //质数的最小质因子为其本身，数量为1
divnum[i]= 2;//质数的约数为1和它本身
}
for(int j = 0; j < cnt&&i*prime[j] < MAXN; j++) //线性筛
{
isprime[i*prime[j]] = 0;
if(i%prime[j] == 0) //同样按照最小质因子*剩余因子积的策略
{
divnum[i*prime[j]] = divnum[i] / (minp[i] + 1)*(minp[i] + 2); //根据公式进行更新
minp[i*prime[j]] = minp[i] + 1; //最小质因子数多一个
break;
}
else //如果之前没有最小质因子，说明prime[j]为最小质因子，且数量为1
{
divnum[i*prime[j]] = divnum[i] * divnum[prime[j]]; //约数函数的可乘性
minp[i*prime[j]] = 1;
}
}
}
}
中国剩余定理
解决模数互质的同余方程
在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。
具体解法分三步：
- 找到三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余2的最小数30，从3和7的公倍数中找出被5除余3 的最小数63，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数140。
- 然后把这三个数相加得到30 + 63 + 140 = 233满足以上所有条件。
- 233满足以上所有条件，但是并不是最小的解， 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。
//洛谷P3868
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define ld long double
#define maxn 1000
LL a[maxn],b[maxn];
void EX_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(b == 0)//递归出口
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
LL t;
EX_gcd(b, a%b, x, y);
t = x;
x = y;
y = t-(a/b)*y;
}
LL mod_mul(LL a,LL b,LL mod){
//快速积取模
LL sum=0;
while(b){
if(b&1) sum=(sum+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return sum;
}
LL q_mod(LL x, LL y, LL p) // ll 代表 long long, ld 代表long double
{
x %= p;
y %= p;
LL z = (ld) x * y / p;
LL ans = x * y - z * p;
if(ans < 0)
ans += p;
else if(ans >= p)
ans -= p;
return ans;
}
LL CRT(LL m[], LL a[], int n){
// ans % m = a
LL M = 1, ans = 0;
for(int i=0; i<n; i++) M *= m[i];//计算 mod
for(int i=0; i<n; i++){
LL x, y;
LL Mi = M / m[i]; //Mi:当前式子中要取的模
EX_gcd(Mi, m[i], x, y); //拓展欧几里得算法
//ans = (ans + Mi*x*a[i]) % M;
//ans = (ans + mod_mul(mod_mul(Mi, x, M), a[i], M)) % M;
ans = (ans + q_mod(q_mod(Mi, x, M), a[i], M)) % M;
}
if(ans < 0) ans += M; //最小非负整数
return ans;
}
int main(){
LL n;
cin>>n;
for(LL i=0;i<n;i++){
cin>>b[i];
}
for(LL i=0;i<n;i++){
cin>>a[i];
}
cout<<CRT(a,b,n);
return 0;
}
解决模数可不互质的同余方程组
扩展中国剩余定理
LL EX_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
if(b==0) {
x=1;
y=0;
return a;
}
LL d=EX_gcd(b,a%b,x,y);
LL temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return d;
}
LL EX_CRT(LL m[], LL a[], int n) {
// ans % m = a
LL M = m[0], ans = a[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
LL aa = M, bb = m[i], cc = (a[i] - ans % bb + bb) % bb;//aa * x ≡ cc( mod bb)
LL x = 0, y = 0;
LL d = EX_gcd(aa, bb, x, y);
bb = bb / d;
if(cc % d) return -1; // 不存在
x=((x * cc / d) % bb + bb) % bb;//非负整数解
ans += M * x;//更新前k个方程组的答案
M *= bb; // M 为前 k 个 m 的lcm
ans = (ans % M + M) % M;
}
return ans;
}
京公网安备 11010502036488号