题解 | #桂花游戏#

​ 伪题解：

​ 题目中多处暗示小哈想让小赫赢得更多朵桂花，根据样例和数据的约束我们可以猜出只有 $X=YX=Y$ 且 $Y=ZY=Z$ 时小哈获得的桂花数量与小赫获得的相同，其余情况下小哈获得的桂花数量均少于小赫获得的桂花数量。

​ 真题解：

​ 由混合策略纳什均衡可以知道，小哈展示0和1的概率均为0.5，小赫展示0的概率则为 $\frac{Y}{X+Y}\backslash frac\{Y\}\{X+Y\}$​​​，展示1的概率为 $\frac{X}{X+Y}\backslash frac\{X\}\{X+Y\}$​​​。进一步可以得到小哈的收益为：$\frac{XY}{X+Y}\backslash frac\{XY\}\{X+Y\}$​​​，小赫收益即为 $\frac{XZ+YZ}{2(X+Y)}\backslash frac\{XZ+YZ\}\{2(X+Y)\}$​​​

​ 令 $difdif$​ 为小哈收益与小赫收益之差，则有

​ $dif=\frac{XY}{X+Y}-\frac{XZ+YZ}{2(X+Y)}=\frac{2XY-Z(X+Y)}{2(X+Y)}⩽\frac{2XY-\frac{{(X+Y)}^2}{2}}{2(X+Y)}⩽\frac{2XY-2XY}{2(X+Y)}=0dif=\backslash frac\{XY\}\{X+Y\}-\backslash frac\{XZ+YZ\}\{2\backslash left(\; X+Y\; \backslash right)\}\; \backslash \backslash \; \backslash ,\backslash ,\; =\backslash frac\{2XY-Z\backslash left(\; X+Y\; \backslash right)\}\{2\backslash left(\; X+Y\; \backslash right)\}\; \backslash \backslash \; \backslash ,\backslash ,\; \backslash leqslant\; \backslash frac\{2XY-\backslash frac\{\backslash left(\; X+Y\; \backslash right)\; ^2\}\{2\}\}\{2\backslash left(\; X+Y\; \backslash right)\}\; \backslash \backslash \; \backslash ,\backslash ,\; \backslash leqslant\; \backslash frac\{2XY-2XY\}\{2\backslash left(\; X+Y\; \backslash right)\}=0$​​

​ 故可知：$dif⩽0dif\; \backslash leqslant\; 0$​​，当且仅当 $X=YX=Y$​​ 且 $X+Y=2ZX+Y=2Z$ ​​时等号成立

​ 即 $X=YX=Y$ 且 $X+Y=2ZX+Y=2Z$​ ​​时小哈获得的桂花数量与小赫获得的相同，其余情况下小哈获得的桂花数量均少于小赫获得的桂花数量。